Teorema de semejanza LLL (lado-lado-lado) — Parte 2
Teorema de semejanza LLL (lado-lado-lado) — Parte 2. Preguntas para practicar y profundizar la comprensión del teorema de semejanza LLL — práctica avanzada. Práctica de matemáticas en línea con soluciones y explicaciones detalladas.
Semejanza LLL Parte 2 — práctica avanzada del teorema de semejanza lado-lado-lado. Problemas complejos con soluciones completas.
📐 Teorema de semejanza LLL: dos triángulos son semejantes si:
💡 Explicación:
LLL: las 3 razones de lados correspondientes deben ser iguales. Es la versión "proporcional" del LLL de congruencia ✅
En un triángulo pequeño los lados tienen longitudes 3, 4, 5. En un triángulo grande los lados tienen longitudes 6, 8, 10. Los lados correspondientes son 3 vs 6, 4 vs 8, 5 vs 10. ¿Son los triángulos semejantes por LLL?
💡 Explicación:
3:6 = 4:8 = 5:10 = 1:2. Las 3 razones son iguales → LLL semejanza. (También es el clásico 3-4-5 escalado ×2) ✅
En un triángulo los lados son 4, 6, 9. En un segundo triángulo los lados son 8, 12, 18. Los lados correspondientes son 4 vs 8, 6 vs 12, 9 vs 18. ¿Cuál es la afirmación correcta?
💡 Explicación:
4:8 = 6:12 = 9:18 = 1:2. Las 3 razones idénticas → LLL semejanza ✅
En un triángulo pequeño los lados son 5, 7, 9. En un triángulo grande los lados son 10, 15, 18. Los lados correspondientes son 5 vs 10, 7 vs 15, 9 vs 18. ¿Son los triángulos semejantes?
💡 Explicación:
5:10 = 1:2. 7:15 = 7/15 ≈ 0,467. 9:18 = 1:2. La razón del medio es diferente → no semejantes ✅
En la figura aparecen dos triángulos. Los lados del pequeño tienen longitudes 4, 6, 8, y del grande 8, 12, 16. Los lados correspondientes están marcados con el mismo color.
¿Qué se puede concluir sobre los triángulos?
💡 Explicación:
4:8 = 6:12 = 8:16 = 1:2. Razones iguales → LLL semejanza con razón 1:2 ✅
En un triángulo pequeño los lados son 5, 12, 13. En un triángulo grande los lados correspondientes son 10, 24, 26. ¿Cuál es la razón de semejanza (pequeño:grande)?
💡 Explicación:
5:10 = 12:24 = 13:26 = 1:2. (Es el triángulo pitagórico 5-12-13 escalado por 2!) ✅
Dos triángulos son semejantes por LLL. La razón de semejanza (pequeño:grande) es 3:5. En el pequeño la longitud de un lado es 9. ¿Cuál será la longitud del lado correspondiente en el grande?
💡 Explicación:
\(\dfrac{9}{x} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow x = \dfrac{9 \times 5}{3} = 15\) ✅
Dos triángulos son semejantes por LLL. La razón de semejanza (pequeño:grande) es 2:7. En el grande la longitud de un lado es 35. ¿Cuál es la longitud del lado correspondiente en el pequeño?
💡 Explicación:
\(\dfrac{x}{35} = \dfrac{2}{7} \Rightarrow x = \dfrac{2 \times 35}{7} = 10\) ✅
En un triángulo los lados son 6, 8, 10. En otro triángulo los lados son 9, 12, 15. ¿Hace falta verificar los ángulos para decidir si los triángulos son semejantes?
💡 Explicación:
LLL no requiere ángulos. Solo los 3 lados proporcionales bastan. (Verificación: 6:9 = 8:12 = 10:15 = 2:3 ✓ → semejantes) ✅
Un estudiante afirma: "si dos pares de lados correspondientes están en razón constante, entonces los triángulos son semejantes por LLL". ¿Cómo explicarías cuál es el problema con la afirmación?
💡 Explicación:
Con solo 2 pares proporcionales, el tercer par podría tener razón diferente (caso Q4996). LLL exige las 3 razones iguales ✅
Dos triángulos son semejantes por LLL. La razón de semejanza pequeño:grande es 3:4. El perímetro del pequeño es 24. ¿Cuál es el perímetro del grande?
💡 Explicación:
El perímetro está en la misma razón que los lados: \(\dfrac{24}{x} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow x = \dfrac{24 \times 4}{3} = 32\) ✅
Dos triángulos son semejantes por LLL. La razón de los lados pequeño:grande es 2:5. El área del pequeño es 10. ¿Cuál es el área del grande?
💡 Explicación:
Razón de áreas = (razón de lados)² = (2:5)² = 4:25. Por tanto \(\dfrac{10}{x} = \dfrac{4}{25} \Rightarrow x = \dfrac{10 \times 25}{4} = 62{,}5\) ✅
En la figura hay dos triángulos. Cada par de lados correspondientes está marcado con el mismo color para mostrar razón constante.
¿Qué enfatiza la figura sobre el teorema LLL?
💡 Explicación:
Marcar lados correspondientes con el mismo color visualiza la condición LLL: razón constante en los 3 pares ✅
En un triángulo pequeño dos lados tienen longitudes 6 y 9, y en un triángulo grande los dos lados correspondientes son 10 y 15. El tercer lado en el pequeño es 8. ¿Qué longitud debe tener el tercer lado en el grande para que los triángulos sean semejantes por LLL?
💡 Explicación:
Razón: 6:10 = 9:15 = 3:5. Por tanto 8:x = 3:5 → \(x = \dfrac{8 \times 5}{3} = \dfrac{40}{3} \approx 13\dfrac{1}{3}\) ✅
Se sabe que dos triángulos son semejantes por LLL. Los lados del primero: 3, 4, 6. Del segundo: 6, 8, 12. ¿Qué correspondencia entre los lados es lógica para la semejanza?
💡 Explicación:
La correspondencia natural es por tamaño relativo: el más pequeño con el más pequeño, etc. 3↔6, 4↔8, 6↔12 — todas las razones 1:2 ✅
En dos triángulos se sabe que son semejantes por LLL. En uno de los triángulos un lado es 7, y en el segundo el lado correspondiente es 28. ¿Cuál es la razón de semejanza pequeño:grande?
💡 Explicación:
7:28 = 1:4 (dividiendo por 7). El más pequeño es ¼ del grande ✅
Un triángulo rectángulo es el clásico 3, 4, 5. Un segundo triángulo rectángulo es 9, 12, 15. ¿Son los triángulos semejantes, y qué teorema es cómodo usar?
💡 Explicación:
3:9 = 4:12 = 5:15 = 1:3. LLL es directo aquí. (También AA funciona con ∠90° y los ángulos agudos iguales, pero hay que probarlos primero) ✅
¿Por qué basta saber que los tres pares de lados correspondientes están en razón constante para concluir que los triángulos son semejantes?
💡 Explicación:
Por la ley de cosenos, 3 lados determinan unívocamente todos los ángulos. Si los lados están en razón constante, los ángulos son iguales → misma forma, diferente tamaño ✅
Un estudiante dice: "si la suma de los lados en los dos triángulos es la misma, los triángulos son semejantes por LLL". ¿Cuál es el problema con esta idea?
💡 Explicación:
Triángulos con mismo perímetro pueden tener formas completamente diferentes (ej: 3-4-5 vs 4-4-4 ambos perim 12). La semejanza requiere razones iguales, no sumas iguales ✅
¿Cuál de los siguientes datos es suficiente para probar semejanza por LLL?
💡 Explicación:
LLL requiere 3 lados en cada triángulo + verificación de las 3 razones constantes. Cualquier dato menor no es suficiente ✅
La razón de semejanza pequeño:grande es 5:6. El perímetro del triángulo grande es 48. ¿Cuál es el perímetro del pequeño?
💡 Explicación:
\(\dfrac{x}{48} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow x = \dfrac{5 \times 48}{6} = 40\) ✅
Un triángulo fue agrandado de modo que cada uno de sus lados creció ×7. ¿Qué se puede decir sobre el nuevo triángulo respecto al original?
💡 Explicación:
Cada lado ×7 → todas las 3 razones son 1:7. LLL semejanza con razón 1:7 (original más pequeño) ✅
¿Pueden las siguientes razones ser de lados correspondientes en triángulos semejantes por LLL?
Primer lado: 4 vs 6. Segundo lado: 6 vs 9. Tercer lado: 10 vs 15.
💡 Explicación:
4:6 = 2:3. 6:9 = 2:3. 10:15 = 2:3. Las 3 razones son idénticas (2:3) → cumple LLL ✅
En un problema se da toda la información siguiente: los tres lados en cada triángulo son conocidos, y es fácil verificar que las razones entre los lados correspondientes son constantes. Además se dan también dos ángulos iguales. ¿Qué teorema es más eficiente?
💡 Explicación:
Cuando ya están todos los 3 lados, LLL es directo y eficiente. AA también funciona, pero requiere "perder" 2 datos de lados. LLL es el más natural aquí ✅
¿Cuál es la idea principal detrás del teorema de semejanza LLL?
💡 Explicación:
Esencia de LLL: las 3 razones iguales fijan la forma del triángulo (los ángulos). Solo cambia la escala (tamaño) ✅