Crecimiento y decaimiento exponencial
Vida media y tiempo de duplicación
⏱️ Vida media (Half-Life)
El tiempo en el que la cantidad se reduce a la mitad
\(f(t_{1/2}) = \frac{f(0)}{2}\)
💡 ¿Cuándo se usa?
- Decaimiento radiactivo
- Eliminación de un medicamento del cuerpo
- Bajada de la concentración de una sustancia
📐 Hallar la vida media
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log q} = \frac{-\log 2}{\log q}\)
✏️ Ejemplo 1: una sustancia radiactiva se desintegra un 8% al día. ¿Cuál es la vida media?
Solución:
\(q = 1 - 0.08 = 0.92\)
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log(0.92)} = \frac{-0.301}{-0.0362} \approx 8.3\)
Respuesta: aproximadamente 8.3 días
✏️ Ejemplo 2: un medicamento se elimina del cuerpo a un ritmo del 15% por hora. ¿Después de cuántas horas quedará la mitad de la dosis?
Solución:
\(q = 0.85\)
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log(0.85)} \approx 4.27\)
Respuesta: aproximadamente 4.3 horas
🔄 Uso de la vida media
💡 Si se conoce la vida media:
Después de cada vida media, la cantidad se reduce a la mitad:
| Tiempo transcurrido | Cantidad restante |
|---|---|
| 0 | f(0) |
| \(t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{2}\) |
| \(2 \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{4}\) |
| \(3 \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{8}\) |
| \(n \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{2^n}\) |
✏️ Ejemplo: la vida media de una sustancia radiactiva es de 10 años. Si hay 80 gramos, ¿cuánto quedará después de 30 años?
Solución:
30 años = 3 vidas medias
\(\frac{80}{2^3} = \frac{80}{8} = 10\) gramos
Respuesta: 10 gramos
⏱️ Tiempo de duplicación (Doubling Time)
El tiempo en el que la cantidad se duplica
\(t_2 = \frac{\log 2}{\log q}\)
✏️ Ejemplo: una población crece un 4% al año. ¿Después de cuántos años se duplicará?
Solución:
\(q = 1.04\)
\(t_2 = \frac{\log 2}{\log 1.04} = \frac{0.301}{0.017} \approx 17.7\)
Respuesta: aproximadamente 18 años
⚡ Regla del 70 (estimación rápida)
\(t_2 \approx \frac{70}{p}\)
donde p es el porcentaje de cambio
💡 Ejemplos:
- Crecimiento del 7% → tiempo de duplicación ≈ 70/7 = 10 años
- Crecimiento del 10% → tiempo de duplicación ≈ 70/10 = 7 años
- Crecimiento del 2% → tiempo de duplicación ≈ 70/2 = 35 años
📋 Tabla resumen
| Vida media | Tiempo de duplicación | |
|---|---|---|
| Significado | La cantidad se reduce al 50% | La cantidad aumenta al 200% |
| Tipo de proceso | Decaimiento (q < 1) | Crecimiento (q > 1) |
| Fórmula | \(\frac{\log 0.5}{\log q}\) | \(\frac{\log 2}{\log q}\) |
📝 Resumen
Vida media: la cantidad se reduce al 50%
Tiempo de duplicación: la cantidad aumenta al 200%
Regla del 70: tiempo de duplicación/vida media ≈ 70 ÷ porcentaje