Progresión geométrica
Suma de términos en posiciones pares e impares
🎯 ¿Qué significa esto?
A veces hay que calcular la suma de los términos que están solo en posiciones pares o solo en posiciones impares de una progresión.
💡 Idea central
Descubrimiento importante: los términos en posiciones pares (o impares) forman ellos mismos una progresión geométrica.
Términos en posiciones impares:
a₁, a₃, a₅, a₇, ...
Primer término: a₁
Razón: q²
Términos en posiciones pares:
a₂, a₄, a₆, a₈, ...
Primer término: a₂ = a₁·q
Razón: q²
🔍 ¿Por qué la razón es q²?
Porque al saltar de un término impar al siguiente impar (o de un término par al siguiente par), se saltan 2 posiciones.
Ejemplo: \(\frac{a_3}{a_1} = \frac{a_1 \cdot q^2}{a_1} = q^2\)
⚠️ Importante: el número de términos en cada grupo
¡Depende de si n (el número total de términos) es par o impar!
n par (por ejemplo n = 8)
| Posiciones impares | \(\frac{n}{2}\) términos | 4 términos |
| Posiciones pares | \(\frac{n}{2}\) términos | 4 términos |
n impar (por ejemplo n = 7)
| Posiciones impares | \(\frac{n+1}{2}\) términos | 4 términos |
| Posiciones pares | \(\frac{n-1}{2}\) términos | 3 términos |
📐 Fórmulas
Suma de términos en posiciones impares:
\(S_{\text{impar}} = \frac{a_1((q^2)^m - 1)}{q^2 - 1}\)
donde m = número de términos en posiciones impares
Suma de términos en posiciones pares:
\(S_{\text{par}} = \frac{a_1 \cdot q \cdot ((q^2)^m - 1)}{q^2 - 1}\)
donde m = número de términos en posiciones pares
✏️ Ejemplo 1: n par
Pregunta: en una progresión geométrica a₁ = 2, q = 3, n = 6.
Calcula la suma de los términos en posiciones pares y la suma de los términos en posiciones impares.
La progresión: a₁ = 2, a₂ = 6, a₃ = 18, a₄ = 54, a₅ = 162, a₆ = 486
Suma de posiciones impares (a₁, a₃, a₅):
Número de términos: m = 6/2 = 3
Primer término: a₁ = 2, razón: q² = 9
\(S_{\text{impar}} = \frac{2(9^3 - 1)}{9 - 1} = \frac{2(729-1)}{8} = \frac{2 \cdot 728}{8} = \frac{1456}{8} = 182\)
Comprobación: 2 + 18 + 162 = 182 ✓
Suma de posiciones pares (a₂, a₄, a₆):
Número de términos: m = 6/2 = 3
Primer término: a₂ = 6, razón: q² = 9
\(S_{\text{par}} = \frac{6(9^3 - 1)}{9 - 1} = \frac{6 \cdot 728}{8} = \frac{4368}{8} = 546\)
Comprobación: 6 + 54 + 486 = 546 ✓
💡 Comprobación adicional:
Suma de todos los términos S₆ = 182 + 546 = 728
Cálculo directo: \(S_6 = \frac{2(3^6-1)}{3-1} = \frac{2 \cdot 728}{2} = 728\) ✓
✏️ Ejemplo 2: n impar
Pregunta: en una progresión geométrica a₁ = 1, q = 2, n = 7.
Calcula la suma de los términos en posiciones pares.
La progresión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Posiciones pares: a₂ = 2, a₄ = 8, a₆ = 32
Solución:
Número de términos en posiciones pares: m = (7-1)/2 = 3
Primer término: a₂ = 2, razón: q² = 4
\(S_{\text{par}} = \frac{2(4^3 - 1)}{4 - 1} = \frac{2 \cdot 63}{3} = \frac{126}{3} = 42\)
Comprobación: 2 + 8 + 32 = 42 ✓
🔗 Relación útil
\(\frac{S_{\text{par}}}{S_{\text{impar}}} = q\)
💡 Explicación: cada término en posición par es igual al término en posición impar anterior multiplicado por q.
Por lo tanto la razón entre las dos sumas es q (cuando cada grupo tiene el mismo número de términos).
✏️ Comprobación del ejemplo 1:
\(\frac{S_{\text{par}}}{S_{\text{impar}}} = \frac{546}{182} = 3 = q\) ✓
📝 Resumen
Términos en posiciones pares/impares = progresión geométrica con razón q²
¡Atención al número de términos en cada grupo!
Relación: S_par / S_impar = q