🧠 Parte I: preguntas sobre la esencia del método

1. ¿cuál es el verdadero papel del paso base? si falta, ¿qué podría pasar? ¿hay afirmaciones en las que la base “realmente no importa”? Explica.
2. en la hipótesis de inducción no sabemos si la afirmación es cierta. ¿cómo puede ser entonces “legítimo” usarla para demostrar la afirmación para \(k+1\)?
3. ¿se puede sustituir el paso base por \(n=5\) en lugar de \(n=1\)? ¿qué cambiaría? Da ejemplos de afirmaciones donde es posible, y ejemplos donde no.
4. si el paso de \(k\) a \(k+1\) es correcto — ¿garantiza esto que el paso de \(k+1\) a \(k+2\) también lo es? Explica por qué sí/no.
5. ¿cuál es la diferencia entre “comprobar algunos casos” y una demostración por inducción? ¿por qué a nuestro cerebro le gustan los ejemplos — y por qué es peligroso?

📐 Parte II: preguntas sobre el paso inductivo

6. ¿qué tipo de uso de la hipótesis de inducción se considera “legítimo”? Presenta un ejemplo de uso correcto y otro de uso incorrecto.
7. ¿por qué no se puede “suponer” que los lados derecho e izquierdo se aproximan? Piensa en errores frecuentes de los alumnos.
8. ¿por qué en muchos casos se añade \(k+1\) a ambos lados? Muestra un ejemplo donde funciona bien, y otro donde no ayuda nada.
9. ¿qué ocurre cuando el paso inductivo depende no solo de \(k\), sino también de valores intermedios? ¿sigue funcionando la inducción?
10. ¿cuál es la diferencia entre una “fórmula de paso” y la “expansión” de la expresión? ¿hay que sustituir siempre de forma explícita?

🔶 Parte III: preguntas geométricas profundas

11. supón un triángulo dividido en \(n\) bandas paralelas a la base. Vimos que el número de triángulos es \(n^2\). ¿se puede crear también una versión de “duplicación de triángulos”? ¿qué ocurrirá si sustituimos “bandas” por “puntos”? Investiga la idea.
12. explica cómo la inducción geométrica funciona también en divisiones no uniformes. ¿qué se requiere de la estructura geométrica para que la inducción sea posible?
13. ¿se puede inventar una forma geométrica donde la inducción no funcione? Justifica según la regularidad del paso inductivo.

💬 Parte IV: inducción sobre procesos – pensamiento creativo

la inducción no se limita solo a afirmaciones algebraicas. también se puede usar en procesos.

14. un niño construye una torre de cubos: en cada paso añade una nueva fila de cubos en forma de “escaleras”. Se añade un cubo más que en la fila anterior. Formula una afirmación adecuada y propón una demostración por inducción.
15. juego: en cada paso se añade una pelota al frasco, y cada 3 pasos se sacan 2 pelotas. ¿se puede investigar el “número de pelotas” usando inducción? ¿cuál es la condición del paso?
16. proceso de ordenación: una lista a la que se introducen números uno tras otro, donde en cada paso se realiza un pequeño cambio en la lista. ¿cómo se puede formular la afirmación sobre la que se aplica inducción?

🌀 Parte V: mentalidad de inducción – pensar sobre el pensar

17. ¿en qué situaciones la inducción se siente “natural”, y en qué situaciones se siente forzada? Da ejemplos.
18. ¿por qué la inducción solo funciona en estructuras bien ordenadas? ¿cuál es la relación entre “naturales” y la posibilidad de aplicar inducción?
19. ¿cuál es la lógica detrás de la afirmación: “para demostrar infinitos casos – basta con demostrar dos” (la base + el paso). Explica con tus propias palabras.