Estadística
Página 7: medidas de dispersión
📊 ¿Qué son las medidas de dispersión?
Las medidas de dispersión describen cómo de dispersos o concentrados están los datos en torno al centro.
¿Por qué es importante?
Los dos grupos tienen la misma media, ¡pero son totalmente diferentes!
1️⃣ Rango (Range)
El rango = valor máximo menos valor mínimo
\(R = x_{max} - x_{min}\)
✏️ Ejemplo:
Notas: 65, 72, 78, 85, 92
\(R = 92 - 65 = 27\)
El rango: 27
💡 Ventajas y desventajas:
|
✅ Ventajas
|
❌ Desventajas
|
📐 Desviación respecto a la media
La desviación = la distancia de cada dato a la media
\(d_i = x_i - \bar{x}\)
✏️ Ejemplo: datos: 4, 6, 8, 10, 12 (media = 8)
| xᵢ | Desviación (xᵢ - x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 - 8 = -4 |
| 6 | 6 - 8 = -2 |
| 8 | 8 - 8 = 0 |
| 10 | 10 - 8 = +2 |
| 12 | 12 - 8 = +4 |
| Suma | 0 |
⚠️ ¡La suma de las desviaciones siempre es 0!
Por eso no se puede usar como medida de dispersión...
2️⃣ Varianza (Variance)
La varianza = media de los cuadrados de las desviaciones
(se elevan al cuadrado para eliminar los signos negativos)
📋 Fórmulas de la varianza:
| Tipo de datos | Fórmula |
|---|---|
| Datos brutos | \(S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\) |
| Tabla de frecuencias | \(S^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{n}\) |
| Fórmula abreviada | \(S^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\) |
✏️ Ejemplo: datos: 4, 6, 8, 10, 12 (media = 8)
| xᵢ | xᵢ - x̄ | (xᵢ - x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | -4 | 16 |
| 6 | -2 | 4 |
| 8 | 0 | 0 |
| 10 | +2 | 4 |
| 12 | +4 | 16 |
| Suma | 40 | |
\(S^2 = \frac{40}{5} = 8\)
La varianza: 8
3️⃣ Desviación típica (Standard Deviation)
La desviación típica = la raíz cuadrada de la varianza
(devuelve las unidades originales)
\(S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}\)
✏️ Continuación del ejemplo:
\(S = \sqrt{8} = 2.83\)
La desviación típica: 2,83
💡 ¿Qué nos dice la desviación típica?
- Desv. típica pequeña → los datos están cerca de la media (concentrados)
- Desv. típica grande → los datos están lejos de la media (dispersos)
- Desv. típica = 0 → ¡todos los datos son iguales!
✏️ Ejemplo completo - desde tabla de frecuencias
Número de hermanos de 20 estudiantes:
| x | f | x·f | x - x̄ | (x - x̄)² | f(x - x̄)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 | -1.5 | 2.25 | 4.5 |
| 1 | 8 | 8 | -0.5 | 0.25 | 2 |
| 2 | 6 | 12 | 0.5 | 0.25 | 1.5 |
| 3 | 4 | 12 | 1.5 | 2.25 | 9 |
| Total | 20 | 30 | 17 |
Media: \(\bar{x} = \frac{30}{20} = 1.5\)
Varianza: \(S^2 = \frac{17}{20} = 0.85\)
Desv. típica: \(S = \sqrt{0.85} = 0.92\)
📋 Propiedades de la varianza y la desviación típica
| Operación | Efecto en la varianza | Efecto en la desv. típica |
|---|---|---|
| Sumar k a cada dato | No cambia | No cambia |
| Multiplicar cada dato por k | Se multiplica por k² | Se multiplica por |k| |
✏️ Ejemplo:
Datos originales: media = 50, desv. típica = 10
- Sumar 20 a cada dato → media = 70, desv. típica = 10 (no cambia)
- Multiplicar cada dato por 3 → media = 150, desv. típica = 30 (multiplicada por 3)
💡 Consejos para el examen
Rango: max - min
Varianza: media de los cuadrados de las desviaciones
Desv. típica: raíz cuadrada de la varianza
Suma: no cambia la desv. típica
📝 Resumen de la página 7
Rango = max - min
\(S^2 = \frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n}\) | \(S = \sqrt{S^2}\)