📊 Contraste de hipótesis sobre la varianza
A veces no solo nos interesa la media, sino también cuán dispersos están los datos. Por ejemplo: ¿la producción es uniforme? ¿el medicamento da resultados consistentes?
🎯 Una varianza → χ²
Pregunta: ¿la varianza es igual a un valor determinado?
Ejemplo: ¿la desviación típica del peso es de 5 gramos?
⚖️ Dos varianzas → F
Pregunta: ¿las varianzas de dos grupos son iguales?
Ejemplo: ¿la dispersión es similar en dos fábricas?
🔢 Prueba χ² para una varianza
\(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\)
con df = n - 1 grados de libertad
📝 Ejemplo
Un fabricante afirma que σ² = 25. En una muestra de n=10 obtuvimos S² = 40. ¿Hay evidencia de que la varianza es mayor? (α = 0.05)
H₀: σ² = 25
H₁: σ² > 25 (prueba unilateral derecha)
χ² = (10-1) × 40 / 25 = 9 × 1.6 = 14.4
df = 9, valor crítico: χ²₀.₀₅,₉ = 16.92
14.4 < 16.92 → no se rechaza H₀
H₁: σ² > 25 (prueba unilateral derecha)
χ² = (10-1) × 40 / 25 = 9 × 1.6 = 14.4
df = 9, valor crítico: χ²₀.₀₅,₉ = 16.92
14.4 < 16.92 → no se rechaza H₀
🔢 Prueba F para dos varianzas
\(F = \frac{S_1^2}{S_2^2}\)
¡Siempre se pone la varianza mayor en el numerador!
df₁ = n₁ - 1 (numerador), df₂ = n₂ - 1 (denominador)
⚠️ ¡Atención!
- χ² siempre es positivo y asimétrico a la derecha
- F siempre es positivo (cociente de varianzas)
- En una prueba F bilateral, se pone la mayor en el numerador y solo se examina la cola derecha