Dominio de funciones raíz cuadrada con cociente
Dominio de funciones raíz cuadrada con cociente. Preguntas para practicar y profundizar la comprensión del dominio de funciones raíz cuadrada con cociente. Práctica de matemáticas en línea con soluciones y explicaciones detalladas.
Práctica del dominio de raíz con cociente — 30 preguntas: raíz en el numerador (≥ 0), raíz en el denominador (> 0), suma de fracciones. Explicaciones detalladas con énfasis en casos críticos.
Temas tratados:
- Preguntas básicas (1–4): raíz en el numerador
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x-2\geq 0 \Rightarrow x\geq 2\). Denominador: \(x-5\neq 0 \Rightarrow x\neq 5\). Combinado: \(x\geq 2,\ x\neq 5\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(\sqrt{x-3}>0\) (≠ 0 y ≥ 0 ⇒ > 0) → \(x-3>0\) → \(x>3\) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-4}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x+1\geq 0 \Rightarrow x\geq -1\). Denominador: \(x\neq 4\). Combinado: \(x\geq -1,\ x\neq 4\) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x-5}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador: \(\sqrt{x-5}>0\) → \(x>5\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x-2}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
\(x^2-9\geq 0 \Rightarrow x\leq -3\) o \(x\geq 3\). Denominador: \(x\neq 2\) (que ya está fuera del rango). Combinado: \(x\leq -3\) o \(x\geq 3\) (nota: \(x\neq 2\) es redundante) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{4-x}}{x+3}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(4-x\geq 0 \Rightarrow x\leq 4\). Denominador: \(x\neq -3\) (que sí está en \(x\leq 4\)). Combinado: \(x\leq 4,\ x\neq -3\) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-16}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(x^2-16>0\) → \(x<-4\) o \(x>4\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2-4}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x\geq -5\). Denominador: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0 \Rightarrow x\neq \pm 2\). Ambos están en \(x\geq -5\). Combinado: \(x\geq -5,\ x\neq \pm 2\) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{x-1}{\sqrt{9-x^2}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(9-x^2>0\) → \(x^2<9\) → \(-3
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq 1\). Denominador: \(x^2-9\neq 0 \Rightarrow x\neq \pm 3\). Como \(x=-3\) no está en \(x\geq 1\), no es necesario excluirlo. Combinado: \(x\geq 1,\ x\neq 3\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0\) → fuera de las raíces, estrictamente → \(x<2\) o \(x>3\) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-6}}{x+1}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(2x-6\geq 0 \Rightarrow x\geq 3\). Denominador: \(x\neq -1\) (que ya está fuera de \(x\geq 3\), así que es redundante). Combinado: \(x\geq 3,\ x\neq -1\) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-3}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
\(x^2-1\geq 0 \Rightarrow x\leq -1\) o \(x\geq 1\). Denominador: \(x\neq 3\) (que sí está en \(x\geq 1\)) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(x+4>0\) → \(x>-4\). El numerador no añade restricciones ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{16-x^2}}{x-5}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(16-x^2\geq 0 \Rightarrow -4\leq x\leq 4\). Denominador: \(x\neq 5\) (redundante: 5 ya está fuera) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} + \dfrac{1}{x-2}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Suma de funciones → intersección de dominios. Primer término: \(\sqrt{x-1}>0 \Rightarrow x>1\). Segundo término: \(x\neq 2\). Combinado: \(x>1,\ x\neq 2\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3}}{x^2-x-6}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x+3\geq 0 \Rightarrow x\geq -3\). Denominador: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3,-2\). Ambos en \(x\geq -3\). Combinado: \(x\geq -3,\ x\neq -2,3\) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(4-x^2>0\) → \(x^2<4\) → \(-2
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x+1}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\geq 0 \Rightarrow x\leq 1\) o \(x\geq 3\). Denominador: \(x\neq -1\) (que sí está en \(x\leq 1\)) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Primer término: \(\sqrt{x}\) en denominador → \(x>0\). Segundo término: \(x\neq 0\). Combinado: \(x>0\) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{5-x}}{x^2-1}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(5-x\geq 0 \Rightarrow x\leq 5\). Denominador: \(x^2-1\neq 0 \Rightarrow x\neq \pm 1\) (ambos en \(x\leq 5\)). Combinado: \(x\leq 5,\ x\neq \pm 1\) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x-3}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0\) → \(x<-1\) o \(x>3\) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x-4} + \sqrt{x-1}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Suma de funciones → intersección. Primer término: \(x\geq 0,\ x\neq 4\). Segundo término: \(x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq 1\). Intersección: \(x\geq 1,\ x\neq 4\) (la más restrictiva) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{(x-3)(x-5)}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(x-2\geq 0 \Rightarrow x\geq 2\). Denominador factorizado: \(x\neq 3,5\). Ambos en \(x\geq 2\). Combinado: \(x\geq 2,\ x\neq 3,5\) ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(1-x^2>0\) → \(x^2<1\) → \(-1
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{2x-10}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
\(x^2-25\geq 0 \Rightarrow x\leq -5\) o \(x\geq 5\). Denominador: \(2x-10\neq 0 \Rightarrow x\neq 5\). Combinado: \(x\leq -5\) o \(x>5\) (el extremo derecho 5 está excluido) ✅
🔍 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz en denominador → estricto: \(x^2+1>0\) siempre (todos los reales). Numerador no añade restricciones → todos los reales ✅
📐 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{3x-9}}{x^2-4x+3}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Raíz: \(3x-9\geq 0 \Rightarrow x\geq 3\). Denominador: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\neq 0 \Rightarrow x\neq 1,3\). \(x=1\) ya está fuera, pero \(x=3\) sí debe excluirse. Combinado: \(x\geq 3,\ x\neq 3\) (equivalente a \(x>3\)) ✅
📊 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{6-2x}} + \dfrac{1}{x+2}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
Suma de funciones → intersección. Primer término: \(\sqrt{6-2x}>0 \Rightarrow 6-2x>0 \Rightarrow x<3\). Segundo término: \(x\neq -2\) (que sí está en \(x<3\)). Combinado: \(x<3,\ x\neq -2\) ✅
🌟 Encuentra el dominio de: \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-x-6}}{x^2-9}\)
💡 Explicación:
Regla: dominio combinado = (raíz ≥ 0) ∩ (denominador ≠ 0). Si la raíz está en el denominador, la condición es estricta (> 0).
\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\geq 0 \Rightarrow x\leq -2\) o \(x\geq 3\). Denominador: \(x^2-9\neq 0 \Rightarrow x\neq \pm 3\). \(x=-3\) está en \(x\leq -2\), \(x=3\) está en \(x\geq 3\). Ambos deben excluirse ✅