תרגול תחום הגדרה של פונקציות שורש עם מנה

תרגול תחום הגדרה של פונקציות שורש עם מנה. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא תחום הגדרה של פונקציות שורש עם מנה. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.

תרגול תחום הגדרה שורש עם מנה - 30 שאלות: שורש במונה (≥0), שורש במכנה (>0), סכום שברים. הסברים עם דגש על מקרים קריטיים.

תכנים שכוסו:

  • שאלות בסיס (1-4): שורש במונה, שורש במכנה - מקרים פשוטים
  • פרבולות במכנה (5, 8, 10, 17, 21): שילוב עם תנאי השורש
  • שורש במכנה עם פרבולות (7, 9, 11, 18, 22, 25): תנאי > 0 חובה!
  • סכום של שברים (16, 20, 23, 29): כל חלק בנפרד
  • מקרים מיוחדים (27): ביטוי שתמיד חיובי
  • נקודות על הגבול (26, 28): x=a כלול או לא?
  • שילובים מורכבים (30): הכל ביחד!
כל שאלה כוללת:
  • הסברים מפורטים 6-8 שלבים
  • הבחנה ברורה: שורש במונה vs במכנה
  • ניתוח על ציר המספרים
  • בדיקות מספריות מקיפות
  • טבלאות עם dir="ltr"
  • הדגשת מקרים קריטיים
  • כללים וטיפים חשובים

נקודות חשובות שהודגשו: ⭐ שורש במונה: ≥ 0 ⭐ שורש במכנה: > 0 (חובה!) ⭐ בסכום: כל חלק צריך להיות מוגדר ⭐ בדיקת נקודות קריטיות

30 questions

Question 1
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-5}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

מהי פונקציה עם שורש ומנה? 📚
כשיש גם שורש וגם שבר, צריך לבדוק שני תנאים:
1️⃣ הביטוי תחת השורש ≥ 0
2️⃣ המכנה ≠ 0

שלב 1: זיהוי הרכיבים 🔍
• מונה: √(x-2)
• מכנה: x-5

שלב 2: תנאי השורש 📐
√(x-2) מוגדר כאשר:
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
המכנה לא יכול להתאפס:
x - 5 ≠ 0
x ≠ 5

שלב 4: שילוב התנאים ✍️
צריך ש-שני התנאים יתקיימו יחד:
• x ≥ 2 (בגלל השורש)
• x ≠ 5 (בגלל המכנה)

תחום ההגדרה: \(x \geq 2, x \neq 5\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√(2-2)/(2-5) = 0/(-3) = 0 ✓

ב-x = 3:
√(3-2)/(3-5) = 1/(-2) = -0.5 ✓

ב-x = 5:
√(5-2)/(5-5) = √3/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 6:
√(6-2)/(6-5) = 2/1 = 2 ✓

ב-x = 1:
√(1-2) = √(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 0:
√(0-2) = √(-2) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

xx-2 (תחת שורש)x-5 (מכנה)מוגדר?
0-2 ✗-5✗
1-1 ✗-4✗
20 ✓-3 ✓✓
31 ✓-2 ✓✓
53 ✓0 ✗✗
64 ✓1 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא  | ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר
    ──────●═════════◌═══════▶
          2         5       x
          
    ● = כלול (x=2)
    ◌ = לא כלול (x=5)

הערה חשובה ⚠️
x = 5 לא בתחום למרות ש-√(x-2) מוגדר שם!
הבעיה היא שהמכנה מתאפס.

תשובה: x ≥ 2, x ≠ 5

Question 2
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

מקרה מיוחד: שורש במכנה! ⭐
כששורש נמצא במכנה, יש תנאי מחמיר יותר!

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x-3)

שלב 2: למה שונה? 💭
המכנה הוא √(x-3)
המכנה חייב להיות שונה מאפס!

√(x-3) ≠ 0

מתי √(x-3) = 0?
כאשר x - 3 = 0, כלומר x = 3

שלב 3: התנאי המלא 📐
צריך ש:
1. x - 3 ≥ 0 (כדי שהשורש מוגדר)
2. √(x-3) ≠ 0 (כדי שהמכנה לא אפס)

מהתנאי הראשון: x ≥ 3
מהתנאי השני: x ≠ 3

שילוב: x > 3

שלב 4: דרך קצרה 🚀
כששורש במכנה:
הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש!

x - 3 > 0
x > 3

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
1/√(3-3) = 1/√0 = 1/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 4:
1/√(4-3) = 1/√1 = 1/1 = 1 ✓

ב-x = 7:
1/√(7-3) = 1/√4 = 1/2 ✓

ב-x = 2:
1/√(2-3) = 1/√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 3.5:
1/√(3.5-3) = 1/√0.5 ≈ 1.41 ✓

טבלה 📊

xx-3√(x-3)1/√(x-3)מוגדר?
2-1לא מוגדר-✗
300∞✗
4111✓
7420.5✓
12930.33✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ─────────────◌══════════▶
                 3          x
    
    ◌ = לא כלול (x=3 אסור!)

כלל חשוב ⭐
שורש במכנה: הביטוי תחת השורש חייב > 0
שורש במונה: הביטוי תחת השורש יכול ≥ 0

תשובה: x > 3

Question 3
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-4}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+1)
• מכנה: x-4

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4

שלב 4: שילוב ✍️
\(x \geq -1, x \neq 4\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√0/(−5) = 0 ✓

ב-x = 0:
√1/(−4) = -0.25 ✓

ב-x = 4:
√5/0 ✗

ב-x = 5:
√6/1 ≈ 2.45 ✓

ב-x = -2:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx+1x-4מוגדר?
-2-1 ✗-6✗
-10 ✓-5 ✓✓
01 ✓-4 ✓✓
45 ✓0 ✗✗
56 ✓1 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗  | ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר
    ───●═════════◌═══════▶
      -1         4       x

תשובה: x ≥ -1, x ≠ 4

Question 4
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-5}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x
• מכנה: √(x-5)

שורש במכנה! תנאי מחמיר!

שלב 2: תנאי השורש במכנה 📐
כששורש במכנה, הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש:

x - 5 > 0
x > 5

שלב 3: למה לא x ≥ 5? 💭
אם x = 5:
√(5-5) = √0 = 0

והמכנה יהיה 0!
לכן x = 5 אסור.

שלב 4: בדיקות 🧪
ב-x = 5:
5/√0 = 5/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = 6:
6/√1 = 6/1 = 6 ✓

ב-x = 9:
9/√4 = 9/2 = 4.5 ✓

ב-x = 4:
4/√(-1) ✗ לא מוגדר!

ב-x = 5.1:
5.1/√0.1 ≈ 16.1 ✓

טבלה 📊

xx-5√(x-5)מוגדר?
4-1לא מוגדר✗
500 (מכנה=0!)✗
5.10.10.32✓
611✓
942✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ─────────────◌══════════▶
                 5          x

תזכורת חשובה ⭐
שורש במכנה: x - 5 > 0 (לא ≥)

תשובה: x > 5

Question 5
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x-2}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-9)
• מכנה: x-2

השורש במונה, לא במכנה

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 9 ≥ 0

פירוק:
x² - 9 = (x-3)(x+3)

השורשים: x = 3, x = -3

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -3       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -3 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2

האם x = 2 היה ממילא אסור?
לא! x = 2 נמצא בתחום -3 < x < 3
שזה לא בתחום ההגדרה בגלל השורש.

אבל מכיוון ש-x = 2 ממילא אסור,
התנאי x ≠ 2 לא משנה כאן!

שלב 5: שילוב ✍️
מהשורש: x ≤ -3 או x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ 2

אבל x = 2 נמצא ב-(-3, 3) שכבר אסור!
לכן: \(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

רגע! 🤔
צריך לכתוב גם x ≠ 2?
תלוי בסגנון, אבל הכי נכון:
\(x \leq -3\) או \(x \geq 3, x \neq 2\)

(למרות שזה מיותר)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
√0/(-5) = 0 ✓

ב-x = 3:
√0/1 = 0 ✓

ב-x = 4:
√7/2 ≈ 1.32 ✓

ב-x = 0:
√(-9) ✗

ב-x = 2:
√(-5)/0 ✗ (שתי בעיות!)

טבלה 📊

xx²-9x-2מוגדר?
-47 ✓-6 ✓✓
-30 ✓-5 ✓✓
0-9 ✗-2✗
2-5 ✗0 ✗✗
30 ✓1 ✓✓
47 ✓2 ✓✓

תשובה: x ≤ -3 או x ≥ 3

Question 6
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{4-x}}{x+3}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(4-x)
• מכנה: x+3

שלב 2: תנאי השורש 📐
4 - x ≥ 0
4 ≥ x
x ≤ 4

שים לב! כיוון השורש התהפך

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x + 3 ≠ 0
x ≠ -3

שלב 4: בדיקה - האם x = -3 בתחום השורש? 💭
האם -3 ≤ 4?
כן! אז x = -3 היה בתחום השורש,
אבל הוא אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \leq 4, x \neq -3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 4:
√0/7 = 0 ✓

ב-x = 0:
√4/3 = 2/3 ✓

ב-x = -3:
√7/0 ✗ לא מוגדר!

ב-x = -5:
√9/(-2) = 3/(-2) = -1.5 ✓

ב-x = 5:
√(-1) ✗ לא מוגדר!

טבלה 📊

x4-xx+3מוגדר?
-59 ✓-2 ✓✓
-37 ✓0 ✗✗
04 ✓3 ✓✓
40 ✓7 ✓✓
5-1 ✗8✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |✗| ✓ מוגדר | ✗ לא
◀═══════════◌═════════●──────▶
           -3         4      x

תשובה: x ≤ 4, x ≠ -3

Question 7
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-16}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-16)

שורש במכנה! צריך להיות זהיר!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
הביטוי תחת השורש חייב להיות חיובי ממש:

x² - 16 > 0

שלב 3: פירוק 📐
x² - 16 = (x-4)(x+4)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
       -4       4       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < -4 או x > 4

שים לב: x = ±4 לא כלולים!

שלב 5: למה x = 4 ו-x = -4 אסורים? 💭
ב-x = 4:
√(16-16) = √0 = 0
המכנה = 0 ✗

ב-x = -4:
√(16-16) = √0 = 0
המכנה = 0 ✗

שלב 6: תחום ההגדרה ✍️
\(x < -4\) או \(x > 4\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 4:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = -5:
1/√9 = 1/3 ✓

ב-x = 5:
1/√9 = 1/3 ✓

ב-x = 0:
1/√(-16) ✗

טבלה 📊

xx²-16√(x²-16)מוגדר?
-59 ✓3✓
-400 (מכנה!)✗
0-16 ✗-✗
400 (מכנה!)✗
59 ✓3✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
           -4       4        x

תשובה: x < -4 או x > 4

Question 8
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2-4}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+5)
• מכנה: x²-4

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 5 ≥ 0
x ≥ -5

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 4 ≠ 0

פירוק:
x² - 4 = (x-2)(x+2)

(x-2)(x+2) ≠ 0

• x ≠ 2
• x ≠ -2

שלב 4: בדיקה - האם -2 ו-2 בתחום השורש? 💭
x = -2:
האם -2 ≥ -5? כן! ✓
אז -2 בתחום השורש, אבל אסור בגלל המכנה.

x = 2:
האם 2 ≥ -5? כן! ✓
אז 2 בתחום השורש, אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
מהשורש: x ≥ -5
מהמכנה: x ≠ -2, x ≠ 2

תחום: \(x \geq -5, x \neq -2, x \neq 2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
√0/21 = 0 ✓

ב-x = -2:
√3/0 ✗

ב-x = 0:
√5/(-4) ≈ -0.56 ✓

ב-x = 2:
√7/0 ✗

ב-x = 3:
√8/5 ≈ 0.57 ✓

ב-x = -6:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx+5x²-4מוגדר?
-6-1 ✗32✗
-50 ✓21 ✓✓
-23 ✓0 ✗✗
05 ✓-4 ✓✓
27 ✓0 ✗✗
38 ✓5 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ |  ✓  |✗|  ✓  |✗|  ✓
    ──●═════◌═════◌═══════▶
     -5    -2     2       x

תשובה: x ≥ -5, x ≠ -2, x ≠ 2

Question 9
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{9-x^2}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x-1
• מכנה: √(9-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
9 - x² > 0 (חיובי ממש!)

9 > x²
x² < 9

שלב 3: פירוק 📐
9 - x² = -(x²-9)
= -(x-3)(x+3)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -3       3        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -3 < x < 3

שים לב: x = ±3 לא כלולים!
(כי השורש במכנה)

שלב 5: למה x = 3 ו-x = -3 אסורים? 💭
ב-x = 3:
9 - 9 = 0
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = -3:
9 - 9 = 0
√0 = 0 במכנה ✗

שלב 6: תחום ההגדרה ✍️
\(-3 < x < 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
(0-1)/√9 = -1/3 ✓

ב-x = 1:
(1-1)/√8 = 0/√8 = 0 ✓

ב-x = 2:
(2-1)/√5 = 1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 3:
(3-1)/√0 = 2/0 ✗

ב-x = -3:
(-3-1)/√0 = -4/0 ✗

ב-x = 4:
(4-1)/√(-7) ✗

טבלה 📊

x9-x²√(9-x²)מוגדר?
-4-7 ✗-✗
-300 (מכנה!)✗
09 ✓3✓
25 ✓2.24✓
300 (מכנה!)✗
4-7 ✗-✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -3           3        x

תשובה: -3 < x < 3

Question 10
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x-1)
• מכנה: x²-9

שלב 2: תנאי השורש 📐
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 9 ≠ 0
(x-3)(x+3) ≠ 0

• x ≠ 3
• x ≠ -3

שלב 4: בדיקה חשובה 💭
האם x = -3 רלוונטי?
האם -3 ≥ 1? לא!

x = -3 ממילא לא בתחום בגלל השורש!
לכן אין צורך לציין x ≠ -3

האם x = 3 רלוונטי?
האם 3 ≥ 1? כן!

x = 3 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 1, x \neq 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
√0/(-8) = 0 ✓

ב-x = 2:
√1/(-5) = -0.2 ✓

ב-x = 3:
√2/0 ✗

ב-x = 4:
√3/7 ≈ 0.25 ✓

ב-x = -3:
√(-4) ✗

ב-x = 0:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx-1x²-9מוגדר?
-3-4 ✗0 ✗✗
0-1 ✗-9✗
10 ✓-8 ✓✓
21 ✓-5 ✓✓
32 ✓0 ✗✗
43 ✓7 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר | ✓ מוגדר |✗| ✓
    ─────────────●═════════◌═══▶
                 1         3   x

הערה 💡
לא צריך לכתוב x ≠ -3
כי -3 < 1 ממילא!

תשובה: x ≥ 1, x ≠ 3

Question 11
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-5x+6)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x² - 5x + 6 > 0 (חיובי ממש!)

שלב 3: פירוק 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 6
• סכומם = -5

המספרים: -2 ו--3

x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
        2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < 2 או x > 3

שים לב: x = 2, x = 3 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(x < 2\) או \(x > 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = 3:
√0 = 0 במכנה ✗

ב-x = 0:
1/√6 ≈ 0.41 ✓

ב-x = 5:
1/√6 ≈ 0.41 ✓

ב-x = 2.5:
1/√(-0.25) ✗

טבלה 📊

xx²-5x+6√מוגדר?
06 ✓2.45✓
12 ✓1.41✓
200 (מכנה!)✗
2.5-0.25 ✗-✗
300 (מכנה!)✗
42 ✓1.41✓
56 ✓2.45✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
            2       3        x

תשובה: x < 2 או x > 3

Question 12
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{2x-6}}{x+1}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(2x-6)
• מכנה: x+1

שלב 2: תנאי השורש 📐
2x - 6 ≥ 0
2x ≥ 6
x ≥ 3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1

שלב 4: בדיקה 💭
האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≥ 3? לא!

x = -1 ממילא לא בתחום בגלל השורש.
אבל טוב לציין את זה בכל זאת.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 3, x \neq -1\)

(x ≠ -1 מיותר, אבל נכון)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 3:
√0/4 = 0 ✓

ב-x = 4:
√2/5 ≈ 0.28 ✓

ב-x = 5:
√4/6 = 2/6 ≈ 0.33 ✓

ב-x = 2:
√(-2) ✗

ב-x = -1:
√(-8)/0 ✗ (שתי בעיות!)

טבלה 📊

x2x-6x+1מוגדר?
-1-8 ✗0 ✗✗
0-6 ✗1✗
2-2 ✗3✗
30 ✓4 ✓✓
42 ✓5 ✓✓
54 ✓6 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר | ✓ מוגדר
    ─────────────●══════════▶
                 3          x

תשובה: x ≥ 3
(או: x ≥ 3, x ≠ -1 אם רוצים להיות מדויקים)

Question 13
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-3}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-1)
• מכנה: x-3

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 1 ≥ 0

פירוק:
(x-1)(x+1) ≥ 0

השורשים: x = 1, x = -1

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -1       1       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -1 או x ≥ 1

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x - 3 ≠ 0
x ≠ 3

שלב 5: בדיקה 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≤ -1 או 3 ≥ 1?
כן! 3 ≥ 1 ✓

אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב ✍️
מהשורש: x ≤ -1 או x ≥ 1
מהמכנה: x ≠ 3

\(x \leq -1\) או \(x \geq 1, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√0/(-4) = 0 ✓

ב-x = 1:
√0/(-2) = 0 ✓

ב-x = 2:
√3/(-1) ≈ -1.73 ✓

ב-x = 3:
√8/0 ✗

ב-x = 4:
√15/1 ≈ 3.87 ✓

ב-x = 0:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx²-1x-3מוגדר?
-23 ✓-5 ✓✓
-10 ✓-4 ✓✓
0-1 ✗-3✗
10 ✓-2 ✓✓
23 ✓-1 ✓✓
38 ✓0 ✗✗
415 ✓1 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  | ✗ |  ✓  |✗| ✓
◀══════●───●═════◌═════▶
      -1   1     3     x

תשובה: x ≤ -1 או x ≥ 1, x ≠ 3

Question 14
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x+4}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x+2
• מכנה: √(x+4)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x + 4 > 0 (חיובי ממש!)
x > -4

שלב 3: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
(−4+2)/√0 = -2/0 ✗

ב-x = -3:
(−3+2)/√1 = -1/1 = -1 ✓

ב-x = -2:
(−2+2)/√2 = 0/√2 = 0 ✓

ב-x = 0:
(0+2)/√4 = 2/2 = 1 ✓

ב-x = 5:
(5+2)/√9 = 7/3 ≈ 2.33 ✓

טבלה 📊

xx+4√(x+4)מוגדר?
-5-1 ✗-✗
-400 (מכנה!)✗
-31 ✓1✓
-22 ✓1.41✓
04 ✓2✓
59 ✓3✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר
    ──────◌═══════════▶
         -4           x

הערה 💡
המונה מתאפס ב-x = -2,
אבל זה בסדר גמור!
0 במונה = 0, לא בעיה

תשובה: x > -4

Question 15
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x-5}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(16-x²)
• מכנה: x-5

שלב 2: תנאי השורש 📐
16 - x² ≥ 0
16 ≥ x²
x² ≤ 16

שלב 3: פירוק 🔢
16 - x² = -(x²-16)
= -(x-4)(x+4)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────●═══════●────────▶
       -4       4        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -4 ≤ x ≤ 4

שלב 5: תנאי המכנה 🔢
x - 5 ≠ 0
x ≠ 5

שלב 6: בדיקה 💭
האם x = 5 בתחום השורש?
האם -4 ≤ 5 ≤ 4? לא!

x = 5 ממילא לא בתחום השורש!
אז x ≠ 5 מיותר (אבל נכון)

שלב 7: שילוב ✍️
\(-4 \leq x \leq 4, x \neq 5\)

(x ≠ 5 מיותר כי 5 > 4)

שלב 8: בדיקות 🧪
ב-x = -4:
√0/(-9) = 0 ✓

ב-x = 0:
√16/(-5) = 4/(-5) = -0.8 ✓

ב-x = 4:
√0/(-1) = 0 ✓

ב-x = 5:
√(-9) ✗

ב-x = 3:
√7/(-2) ≈ -1.32 ✓

טבלה 📊

x16-x²x-5מוגדר?
-5-9 ✗-10✗
-40 ✓-9 ✓✓
016 ✓-5 ✓✓
40 ✓-1 ✓✓
5-9 ✗0 ✗✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ מוגדר | ✗
────●═══════════●────▶
   -4           4    x
                
   (x=5 ממילא מחוץ לתחום)

תשובה: -4 ≤ x ≤ 4

Question 16
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{1}{x-2}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
יש כאן סכום של שני שברים!
• שבר ראשון: 1/√(x-1)
• שבר שני: 1/(x-2)

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
1/√(x-1) מוגדר כאשר:

x - 1 > 0 (שורש במכנה!)
x > 1

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/(x-2) מוגדר כאשר:

x - 2 ≠ 0
x ≠ 2

שלב 4: שילוב - צריך ששניהם מוגדרים! ✍️
כדי שהסכום יהיה מוגדר,
שני התנאים חייבים להתקיים:

• x > 1 (מהשבר הראשון)
• x ≠ 2 (מהשבר השני)

תחום: \(x > 1, x \neq 2\)

שלב 5: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
1/√0 + 1/(−1) ✗ (שבר ראשון לא מוגדר)

ב-x = 1.5:
1/√0.5 + 1/(−0.5)
≈ 1.41 − 2 = −0.59 ✓

ב-x = 2:
1/√1 + 1/0
= 1 + ∞ ✗ (שבר שני לא מוגדר)

ב-x = 3:
1/√2 + 1/1
≈ 0.71 + 1 = 1.71 ✓

ב-x = 0:
1/√(−1) ✗

טבלה 📊

x√(x-1)x-2מוגדר?
0לא מוגדר-2✗
10 (מכנה!)-1✗
1.50.71 ✓-0.5 ✓✓
21 ✓0 ✗✗
31.41 ✓1 ✓✓
52 ✓3 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר |✗| ✓
    ──────◌═══════════◌═══▶
          1           2   x

הערה חשובה ⚠️
בסכום/הפרש של שברים:
כל שבר חייב להיות מוגדר בנפרד!

תשובה: x > 1, x ≠ 2

Question 17
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2-x-6}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x+3)
• מכנה: x²-x-6

שלב 2: תנאי השורש 📐
x + 3 ≥ 0
x ≥ -3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - x - 6 ≠ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = -1

המספרים: -3 ו-2

x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

• x ≠ 3
• x ≠ -2

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = -2 בתחום השורש?
האם -2 ≥ -3? כן! ✓
אז -2 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ -3? כן! ✓
אז 3 היה בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq -3, x \neq -2, x \neq 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -3:
√0/0 - צריך לבדוק!
מכנה: 9+3-6 = 6 ✓
√0/6 = 0 ✓

ב-x = -2:
√1/0 ✗

ב-x = 0:
√3/(-6) ≈ -0.29 ✓

ב-x = 3:
√6/0 ✗

ב-x = 4:
√7/6 ≈ 0.44 ✓

ב-x = -4:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx+3x²-x-6מוגדר?
-4-1 ✗14✗
-30 ✓6 ✓✓
-21 ✓0 ✗✗
03 ✓-6 ✓✓
36 ✓0 ✗✗
47 ✓6 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ |✗|  ✓  |✗| ✓
────●═══◌═══════◌═══▶
   -3  -2       3   x

תשובה: x ≥ -3, x ≠ -2, x ≠ 3

Question 18
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(4-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
4 - x² > 0 (חיובי ממש!)

4 > x²
x² < 4

שלב 3: פירוק 📐
4 - x² = -(x²-4)
= -(x-2)(x+2)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -2       2        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -2 < x < 2

שים לב: x = ±2 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(-2 < x < 2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 2:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 0:
1/√4 = 1/2 ✓

ב-x = 1:
1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = -1:
1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = 3:
1/√(-5) ✗

טבלה 📊

x4-x²√(4-x²)מוגדר?
-3-5 ✗-✗
-200 (מכנה!)✗
-13 ✓1.73✓
04 ✓2✓
13 ✓1.73✓
200 (מכנה!)✗
3-5 ✗-✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -2           2        x

תשובה: -2 < x < 2

Question 19
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x+1}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-4x+3)
• מכנה: x+1

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 4x + 3 ≥ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
        1       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ 1 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x + 1 ≠ 0
x ≠ -1

שלב 5: בדיקה 💭
האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≤ 1? כן! ✓

אז -1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב ✍️
\(x \leq 1\) או \(x \geq 3, x \neq -1\)

שלב 7: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√8/0 ✗

ב-x = 0:
√3/1 ≈ 1.73 ✓

ב-x = 1:
√0/2 = 0 ✓

ב-x = 2:
√(-1) ✗

ב-x = 3:
√0/4 = 0 ✓

ב-x = 4:
√3/5 ≈ 0.35 ✓

טבלה 📊

xx²-4x+3x+1מוגדר?
-18 ✓0 ✗✗
03 ✓1 ✓✓
10 ✓2 ✓✓
2-1 ✗3✗
30 ✓4 ✓✓
43 ✓5 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ | ✗ | ✓
◀═══◌═══●───●═══════▶
   -1   1   3       x

תשובה: x ≤ 1 או x ≥ 3, x ≠ -1

Question 20
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני שברים:
• שבר ראשון: x/√x
• שבר שני: 1/x

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
x/√x מוגדר כאשר:

√x מוגדר וגם √x ≠ 0

√x מוגדר: x ≥ 0
√x ≠ 0: x ≠ 0

ביחד: x > 0

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/x מוגדר כאשר:

x ≠ 0

שלב 4: שילוב ✍️
מהשבר הראשון: x > 0
מהשבר השני: x ≠ 0

x > 0 כבר מכיל את x ≠ 0

תחום: \(x > 0\)

שלב 5: פישוט השבר הראשון 💭
x/√x = x/x^(1/2)
= x^(1 - 1/2)
= x^(1/2)
= √x

אז למעשה:
f(x) = √x + 1/x

וזה מוגדר עבור x > 0

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
0/√0 + 1/0
= 0/0 + ∞ ✗

ב-x = 1:
1/√1 + 1/1
= 1 + 1 = 2 ✓

ב-x = 4:
4/√4 + 1/4
= 4/2 + 0.25
= 2 + 0.25 = 2.25 ✓

ב-x = -1:
-1/√(-1) ✗

טבלה 📊

x√xx/√x1/xמוגדר?
-1לא מוגדר--1✗
00 (מכנה!)לא מוגדר∞✗
1111✓
4220.25✓
9330.11✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ──────────────◌══════════▶
                  0          x

תשובה: x > 0

Question 21
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{5-x}}{x^2-1}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(5-x)
• מכנה: x²-1

שלב 2: תנאי השורש 📐
5 - x ≥ 0
5 ≥ x
x ≤ 5

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 1 ≠ 0

פירוק:
x² - 1 = (x-1)(x+1)

• x ≠ 1
• x ≠ -1

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = 1 בתחום השורש?
האם 1 ≤ 5? כן! ✓
אז x = 1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = -1 בתחום השורש?
האם -1 ≤ 5? כן! ✓
אז x = -1 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \leq 5, x \neq -1, x \neq 1\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
√6/0 ✗

ב-x = 0:
√5/(-1) ≈ -2.24 ✓

ב-x = 1:
√4/0 ✗

ב-x = 5:
√0/24 = 0 ✓

ב-x = 4:
√1/15 ≈ 0.067 ✓

ב-x = 6:
√(-1) ✗

טבלה 📊

x5-xx²-1מוגדר?
-16 ✓0 ✗✗
05 ✓-1 ✓✓
14 ✓0 ✗✗
41 ✓15 ✓✓
50 ✓24 ✓✓
6-1 ✗35✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ |✗| ✓ | ✗
◀═══◌═══◌═══●──────▶
   -1   1   5      x

תשובה: x ≤ 5, x ≠ -1, x ≠ 1

Question 22
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-2x-3}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 1
• מכנה: √(x²-2x-3)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
x² - 2x - 3 > 0 (חיובי ממש!)

שלב 3: פירוק 📐
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -3
• סכומם = -2

המספרים: -3 ו-1

x² - 2x - 3 = (x-3)(x+1)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════◌───────◌═══════▶
       -1       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x < -1 או x > 3

שים לב: x = -1, x = 3 לא כלולים!
(כי השורש במכנה)

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(x < -1\) או \(x > 3\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -1:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = 3:
1/√0 = 1/0 ✗

ב-x = -2:
1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 4:
1/√5 ≈ 0.45 ✓

ב-x = 0:
1/√(-3) ✗

ב-x = 1:
1/√(-4) ✗

טבלה 📊

xx²-2x-3√מוגדר?
-25 ✓2.24✓
-100 (מכנה!)✗
0-3 ✗-✗
1-4 ✗-✗
300 (מכנה!)✗
45 ✓2.24✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר |◌ ✗ לא ◌| ✓ מוגדר
◀═══════════◌───────◌═══════▶
           -1       3        x

תשובה: x < -1 או x > 3

Question 23
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-4} + \sqrt{x-1}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני חלקים:
• חלק ראשון: √x/(x-4)
• חלק שני: √(x-1)

שלב 2: תנאים מהחלק הראשון 📐
√x/(x-4) מוגדר כאשר:

1. √x מוגדר: x ≥ 0
2. x - 4 ≠ 0: x ≠ 4

מהחלק הראשון: x ≥ 0, x ≠ 4

שלב 3: תנאים מהחלק השני 🔢
√(x-1) מוגדר כאשר:

x - 1 ≥ 0
x ≥ 1

שלב 4: שילוב - התנאי המחמיר יותר ✍️
מהחלק הראשון: x ≥ 0, x ≠ 4
מהחלק השני: x ≥ 1

מי המחמיר יותר?
x ≥ 1 מחמיר יותר מ-x ≥ 0

תחום: \(x \geq 1, x \neq 4\)

שלב 5: למה x ≥ 1? 💭
כי כדי ש-שני החלקים יהיו מוגדרים,
צריך את התנאי המחמיר ביותר:

x ≥ 0 ✓
x ≥ 1 ✓ (יותר מחמיר)

אז בוחרים: x ≥ 1

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
√0/(-4) + √(-1)
= 0 + לא מוגדר ✗

ב-x = 1:
√1/(-3) + √0
= -1/3 + 0 ≈ -0.33 ✓

ב-x = 4:
√4/0 + √3
= לא מוגדר ✗

ב-x = 5:
√5/1 + √4
≈ 2.24 + 2 = 4.24 ✓

ב-x = 2:
√2/(-2) + √1
≈ -0.71 + 1 = 0.29 ✓

טבלה 📊

x√x√(x-1)x-4מוגדר?
00 ✓לא מוגדר-4✗
11 ✓0 ✓-3 ✓✓
21.41 ✓1 ✓-2 ✓✓
42 ✓1.73 ✓0 ✗✗
52.24 ✓2 ✓1 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא | ✓ מוגדר |✗| ✓
    ──────●═════════◌═══▶
          1         4   x

תשובה: x ≥ 1, x ≠ 4

Question 24
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{(x-3)(x-5)}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x-2)
• מכנה: (x-3)(x-5)

שלב 2: תנאי השורש 📐
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
(x-3)(x-5) ≠ 0

מכפלה שונה מאפס כאשר
כל גורם שונה מאפס:

• x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3
• x - 5 ≠ 0 → x ≠ 5

שלב 4: בדיקות 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ 2? כן! ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

האם x = 5 בתחום השורש?
האם 5 ≥ 2? כן! ✓
אז x = 5 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה.

שלב 5: שילוב ✍️
\(x \geq 2, x \neq 3, x \neq 5\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 2:
√0/((−1)(−3)) = 0/3 = 0 ✓

ב-x = 3:
√1/(0·(−2)) = √1/0 ✗

ב-x = 4:
√2/(1·(−1)) = √2/(−1) ≈ -1.41 ✓

ב-x = 5:
√3/(2·0) = √3/0 ✗

ב-x = 6:
√4/(3·1) = 2/3 ≈ 0.67 ✓

ב-x = 1:
√(-1) ✗

טבלה 📊

xx-2(x-3)(x-5)מוגדר?
1-1 ✗6✗
20 ✓3 ✓✓
31 ✓0 ✗✗
42 ✓-1 ✓✓
53 ✓0 ✗✗
64 ✓3 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ | ✓ |✗| ✓ |✗| ✓
────●═══◌═══◌═══▶
    2   3   5   x

תשובה: x ≥ 2, x ≠ 3, x ≠ 5

Question 25
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: 2
• מכנה: √(1-x²)

שורש במכנה!

שלב 2: תנאי שורש במכנה ⭐
1 - x² > 0 (חיובי ממש!)

1 > x²
x² < 1

שלב 3: פירוק 📐
1 - x² = -(x²-1)
= -(x-1)(x+1)

שלב 4: ניתוח על ציר 📊

  שלילי   חיובי   שלילי
    ✗   |   ✓   |   ✗
────────◌═══════◌────────▶
       -1       1        x

פרבולה הפוכה (∩):
✓ -1 < x < 1

שים לב: x = ±1 לא כלולים!

שלב 5: תחום ההגדרה ✍️
\(-1 < x < 1\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
2/√1 = 2/1 = 2 ✓

ב-x = 0.5:
2/√0.75 ≈ 2.31 ✓

ב-x = -0.5:
2/√0.75 ≈ 2.31 ✓

ב-x = 1:
2/√0 = 2/0 ✗

ב-x = -1:
2/√0 = 2/0 ✗

ב-x = 2:
2/√(-3) ✗

טבלה 📊

x1-x²√(1-x²)מוגדר?
-2-3 ✗-✗
-100 (מכנה!)✗
-0.50.75 ✓0.87✓
01 ✓1✓
0.50.75 ✓0.87✓
100 (מכנה!)✗
2-3 ✗-✗

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא |◌ ✓ מוגדר ◌| ✗ לא
────────◌═══════════◌────────▶
       -1           1        x

הערה מעניינת 💡
זו למעשה פונקציה הקשורה למעגל!
המשוואה 1 - x² > 0 מגדירה
את הפנים של מעגל ברדיוס 1.

תשובה: -1 < x < 1

Question 26
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{2x-10}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-25)
• מכנה: 2x-10

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - 25 ≥ 0

פירוק:
x² - 25 = (x-5)(x+5)

השורשים: x = 5, x = -5

שלב 3: ניתוח על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -5       5       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -5 או x ≥ 5

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
2x - 10 ≠ 0
2x ≠ 10
x ≠ 5

שלב 5: שילוב - הבעיה! 💭
מהשורש: x ≤ -5 או x ≥ 5
מהמכנה: x ≠ 5

שים לב! x = 5 בדיוק על הגבול!
הוא בתחום השורש (x ≥ 5),
אבל אסור בגלל המכנה.

אז: x ≤ -5 או x > 5

או בצורה מדויקת:
x ≤ -5 או x ≥ 5, x ≠ 5

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -5:
√0/(-20) = 0 ✓

ב-x = 5:
√0/0 - לא מוגדר! ✗

ב-x = 6:
√11/2 ≈ 1.66 ✓

ב-x = -6:
√11/(-22) ≈ -0.15 ✓

ב-x = 0:
√(-25) ✗

טבלה 📊

xx²-252x-10מוגדר?
-611 ✓-22 ✓✓
-50 ✓-20 ✓✓
0-25 ✗-10✗
50 ✓0 ✗✗
611 ✓2 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  | ✗ |✗|◌ ✓
◀══════●───◌══════▶
      -5   5      x
      
   x=5 אסור למרות שעל הגבול!

תשובה נכונה: x ≤ -5 או x ≥ 5, x ≠ 5
(שזה למעשה: x ≤ -5 או x > 5)

Question 27
3.33 pts

🔍 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: x+1
• מכנה: √(x²+1)

שורש במכנה, אבל...

שלב 2: ניתוח המכנה 📐
צריך ש:
x² + 1 > 0 (כי שורש במכנה)

שלב 3: בדיקה מיוחדת 💭
x² ≥ 0 תמיד (ריבוע)

לכן:
x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0

תמיד חיובי!
x² + 1 אף פעם לא מתאפס!

שלב 4: תחום ההגדרה ✍️
אין שום הגבלה!

כל המספרים הממשיים!
\(\mathbb{R}\)

שלב 5: למה? ⭐
• המונה x+1 תמיד מוגדר ✓
• המכנה √(x²+1) תמיד > 0 ✓
• אין בעיה בשום x!

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 0:
(0+1)/√1 = 1/1 = 1 ✓

ב-x = -1:
(−1+1)/√2 = 0/√2 = 0 ✓

ב-x = 5:
(5+1)/√26 = 6/√26 ≈ 1.18 ✓

ב-x = -10:
(−10+1)/√101 = -9/√101 ≈ -0.90 ✓

ב-x = 100:
(100+1)/√10001 ≈ 1.01 ✓

טבלה 📊

xx²+1√(x²+1)מוגדר?
-10101 ✓10.05✓
-12 ✓1.41✓
01 ✓1✓
12 ✓1.41✓
10101 ✓10.05✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓ מוגדר בכל מקום
◀════════════════════════▶
                         x

מקרה נדיר! 🌟
למרות שיש שורש במכנה,
הפונקציה מוגדרת בכל ℝ!

הסיבה: x² + 1 > 0 תמיד!

תשובה: כל המספרים הממשיים

Question 28
3.33 pts

📐 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{3x-9}}{x^2-4x+3}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(3x-9)
• מכנה: x²-4x+3

שלב 2: תנאי השורש 📐
3x - 9 ≥ 0
3x ≥ 9
x ≥ 3

שלב 3: תנאי המכנה 🔢
x² - 4x + 3 ≠ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = 3
• סכומם = -4

המספרים: -1 ו--3

x² - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

• x ≠ 1
• x ≠ 3

שלב 4: בדיקה קריטית! 💭
האם x = 1 בתחום השורש?
האם 1 ≥ 3? לא! ✗
אז x = 1 ממילא לא בתחום.

האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≥ 3? כן! ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 5: שילוב - מה התוצאה? ✍️
מהשורש: x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ 1, x ≠ 3

אבל x = 1 ממילא לא בתחום (1 < 3)
ו-x = 3 אסור בגלל המכנה

תחום: x ≥ 3, x ≠ 3

זה אומר: x > 3

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = 1:
√(-6) ✗ (שתי בעיות)

ב-x = 3:
√0/0 ✗

ב-x = 4:
√3/3 = 1/√3 ≈ 0.58 ✓

ב-x = 5:
√6/8 ≈ 0.31 ✓

ב-x = 2:
√(-3) ✗

טבלה 📊

x3x-9x²-4x+3מוגדר?
1-6 ✗0 ✗✗
2-3 ✗-1✗
30 ✓0 ✗✗
43 ✓3 ✓✓
56 ✓8 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✗ לא מוגדר |◌ ✓ מוגדר
    ──────────────◌══════════▶
                  3          x

התשובה המדויקת:
x ≥ 3, x ≠ 3

או בפשטות: x > 3

Question 29
3.33 pts

📊 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{6-2x}} + \frac{1}{x+2}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍
סכום של שני שברים:
• שבר ראשון: 1/√(6-2x)
• שבר שני: 1/(x+2)

שלב 2: תנאי השבר הראשון 📐
1/√(6-2x) מוגדר כאשר:

6 - 2x > 0 (שורש במכנה!)
6 > 2x
3 > x
x < 3

שלב 3: תנאי השבר השני 🔢
1/(x+2) מוגדר כאשר:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2

שלב 4: בדיקה 💭
האם x = -2 בתחום השבר הראשון?
האם -2 < 3? כן! ✓

אז -2 בתחום השבר הראשון,
אבל אסור בגלל השבר השני!

שלב 5: שילוב ✍️
מהשבר הראשון: x < 3
מהשבר השני: x ≠ -2

\(x < 3, x \neq -2\)

שלב 6: בדיקות 🧪
ב-x = -2:
1/√10 + 1/0
≈ 0.32 + ∞ ✗

ב-x = 0:
1/√6 + 1/2
≈ 0.41 + 0.5 = 0.91 ✓

ב-x = 2:
1/√2 + 1/4
≈ 0.71 + 0.25 = 0.96 ✓

ב-x = 3:
1/√0 + 1/5
= ∞ + 0.2 ✗

ב-x = 4:
1/√(-2) ✗

טבלה 📊

x6-2xx+2מוגדר?
-210 ✓0 ✗✗
06 ✓2 ✓✓
14 ✓3 ✓✓
22 ✓4 ✓✓
30 (מכנה!)5✗
4-2 ✗6✗

ייצוג על ציר 📏

    ✓ |✗| ✓ מוגדר |◌ ✗
◀═══◌═══════════◌───────▶
   -2           3       x

תשובה: x < 3, x ≠ -2

Question 30
3.33 pts

🌟 מצא את תחום ההגדרה של: \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2-x-6}}{x^2-9}\)

Explanation:

💡 הסבר מפורט - השאלה המסכמת:

שלב 1: זיהוי 🔍
• מונה: √(x²-x-6)
• מכנה: x²-9

שילוב של כל מה שלמדנו!

שלב 2: תנאי השורש 📐
x² - x - 6 ≥ 0

פירוק:
מחפשים שני מספרים ש:
• מכפלתם = -6
• סכומם = -1

המספרים: -3 ו-2

x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

שלב 3: ניתוח השורש על ציר 📊

  חיובי   שלילי   חיובי
    ✓   |   ✗   |   ✓
◀═══════●───────●═══════▶
       -2       3       x

פרבולה רגילה (∪):
✓ x ≤ -2 או x ≥ 3

שלב 4: תנאי המכנה 🔢
x² - 9 ≠ 0

פירוק:
x² - 9 = (x-3)(x+3)

• x ≠ 3
• x ≠ -3

שלב 5: בדיקות קריטיות 💭
האם x = 3 בתחום השורש?
האם 3 ≤ -2 או 3 ≥ 3?
כן! 3 ≥ 3 ✓
אז x = 3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

האם x = -3 בתחום השורש?
האם -3 ≤ -2 או -3 ≥ 3?
כן! -3 ≤ -2 ✓
אז x = -3 בתחום השורש,
אבל אסור בגלל המכנה!

שלב 6: שילוב סופי ✍️
מהשורש: x ≤ -2 או x ≥ 3
מהמכנה: x ≠ -3, x ≠ 3

\(x \leq -2\) או \(x \geq 3, x \neq -3, x \neq 3\)

שלב 7: בדיקות מקיפות 🧪
ב-x = -3:
√0/0 ✗

ב-x = -2:
√0/(-5) = 0 ✓

ב-x = 0:
√(-6) ✗

ב-x = 3:
√0/0 ✗

ב-x = 4:
√6/7 ≈ 0.35 ✓

ב-x = -4:
√6/7 ≈ 0.35 ✓

טבלה מפורטת 📊

xx²-x-6x²-9מוגדר?
-414 ✓7 ✓✓
-36 ✓0 ✗✗
-20 ✓-5 ✓✓
0-6 ✗-9✗
30 ✓0 ✗✗
46 ✓7 ✓✓

ייצוג על ציר 📏

    ✓  |✗| | ✗ |✗|◌ ✓
◀══════◌═●───●═◌══════▶
      -3 -2  3        x

סיכום כל מה שלמדנו 🎯
במבחן זה למדנו:
✅ שורש במונה: ביטוי ≥ 0
✅ שורש במכנה: ביטוי > 0
✅ מכנה רגיל: ביטוי ≠ 0
✅ שילוב של כל התנאים
✅ סכום של שברים
✅ זיהוי נקודות קריטיות
✅ פרבולות במכנה
✅ ביטויים שתמיד חיוביים

עקרונות מרכזיים ⭐
1. שורש במונה: ≥ 0
2. שורש במכנה: > 0
3. מכנה רגיל: ≠ 0
4. בדוק אם נקודות אסורות במכנה
   היו מותרות בשורש
5. בסכום: כל חלק בנפרד!

תשובה סופית:
x ≤ -2 או x ≥ 3, x ≠ -3, x ≠ 3