Triángulos semejantes — Razón de alturas igual a razón de semejanza (Parte 2)
Triángulos semejantes — Razón de alturas igual a razón de semejanza (Parte 2). Preguntas para practicar y profundizar la comprensión de la razón de las alturas correspondientes en triángulos semejantes. Práctica de matemáticas en línea con soluciones y explicaciones detalladas.
Práctica de razón de alturas en triángulos semejantes — la razón de las alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza. Práctica con explicaciones y ejemplos resueltos.
📐 Teorema de semejanza en triángulos: en triángulos semejantes la razón de las alturas correspondientes es:
💡 Explicación:
La altura es medida lineal (cm) → escala con la razón de semejanza directa. Si razón k → alturas en razón k ✅
La razón de semejanza entre dos triángulos semejantes (pequeño a grande) es 2 a 5. ¿Qué se puede decir sobre la razón de las alturas correspondientes?
💡 Explicación:
Las alturas se escalan con la razón directamente: 2:5 → 2:5 (no al cuadrado) ✅
Dos triángulos semejantes. La razón de semejanza pequeño a grande es 3 a 4. Una altura en el pequeño es 9 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura correspondiente en el grande?
💡 Explicación:
\(\dfrac{9}{x} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow x = \dfrac{9 \times 4}{3} = 12\) cm ✅
La razón de semejanza entre dos triángulos semejantes (pequeño a grande) es 2 a 7. Una altura en el grande es 21 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura correspondiente en el pequeño?
💡 Explicación:
\(\dfrac{x}{21} = \dfrac{2}{7} \Rightarrow x = \dfrac{2 \times 21}{7} = 6\) cm ✅
Dos triángulos semejantes. La razón de semejanza pequeño a grande es 1 a 3. Un estudiante afirmó que la razón de las alturas correspondientes es 1 a 9 porque la altura está relacionada con el área. ¿Cómo lo corregirías?
💡 Explicación:
Aunque el área = ½ × base × altura, la altura misma es una longitud lineal. Solo el área es bidimensional (k²). Las alturas se escalan con k directamente ✅
En la figura aparecen dos triángulos semejantes. En cada uno se marca una altura al lado de la base.
Si la razón de semejanza pequeño a grande es 1 a 3, ¿cuál es la razón de las alturas marcadas?
💡 Explicación:
Las alturas marcadas son correspondientes (ambas a la base). Razón = razón de semejanza = 1 a 3 ✅
En un triángulo pequeño la longitud del lado de la base es 6 cm, y en un triángulo grande correspondiente la base es 15 cm. Los triángulos son semejantes. La altura del triángulo pequeño al lado de la base es 4 cm. ¿Cuál es la altura correspondiente en el grande?
💡 Explicación:
Razón bases: 6:15 = 2:5. La altura está en la misma razón: \(\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow x = 10\) cm ✅
Dos triángulos semejantes. La razón de semejanza pequeño a grande es 3 a 5. Una altura en el triángulo pequeño al lado AB se midió y es 6 cm. En el triángulo grande se mide una altura a un lado diferente. ¿Es posible comparar las alturas según el teorema?
💡 Explicación:
El teorema solo se aplica a alturas correspondientes (al lado correspondiente). Altura a otro lado puede tener cualquier relación ✅
En un triángulo pequeño la altura a cierto lado es 5 cm. En un triángulo grande semejante a él la altura correspondiente es 15 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza pequeño a grande?
💡 Explicación:
Razón alturas = razón semejanza. 5:15 = 1:3 ✅
En un triángulo pequeño la altura al lado de la base es 6 cm, y en un triángulo grande semejante la altura correspondiente es 9 cm. ¿Cuál es la razón de las áreas pequeño a grande?
💡 Explicación:
Razón alturas = razón semejanza = 6:9 = 2:3. Razón áreas = (2:3)² = 4:9 ✅
Un modelo a escala de un triángulo se construyó de modo que la razón de semejanza entre el modelo y el triángulo original (modelo a original) es 1 a 50. En el triángulo original la altura al lado de la base es 10 m. ¿Cuál es la altura correspondiente en el modelo, en cm?
💡 Explicación:
10 m = 1000 cm. \(\dfrac{x}{1000} = \dfrac{1}{50} \Rightarrow x = 20\) cm ✅
En la figura dos triángulos semejantes comparten la misma altura vertical, pero sus bases tienen longitudes diferentes.
Si la razón de semejanza pequeño a grande es 2 a 3, ¿qué se puede concluir sobre las alturas?
💡 Explicación:
Aunque "comparten" altura visualmente en el dibujo, las alturas correspondientes de triángulos semejantes están en razón de semejanza: 2:3 ✅
En un triángulo pequeño la razón de semejanza con un triángulo grande es 4 a 9. Una altura en el grande a cierto lado es 22.5 cm. ¿Cuál es la altura correspondiente en el pequeño?
💡 Explicación:
\(\dfrac{x}{22{,}5} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow x = \dfrac{4 \times 22{,}5}{9} = 10\) cm ✅
Dado: dos triángulos semejantes. La razón de semejanza pequeño a grande es 5 a 8. Una altura en el pequeño es 15 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura correspondiente en el grande?
💡 Explicación:
\(\dfrac{15}{x} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow x = \dfrac{15 \times 8}{5} = 24\) cm ✅
Dos triángulos semejantes. Una altura en el pequeño se mide al lado BC. En el grande se mide una altura al lado AB que NO corresponde a BC. ¿Se pueden comparar las alturas según el teorema?
💡 Explicación:
El teorema exige correspondencia entre las alturas. Sin correspondencia (BC vs AB no correspondiente), no se puede deducir la razón ✅
Una altura en un triángulo pequeño es 12 cm. La altura correspondiente en un triángulo grande es 30 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza pequeño a grande?
💡 Explicación:
12:30 = 2:5 (dividiendo por 6) ✅
En la figura dos triángulos semejantes. Las razones de los lados entre el pequeño y el grande son 3 a 4.
Si la altura pequeña es 9, ¿cuál es la altura grande?
💡 Explicación:
\(\dfrac{9}{x} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow x = 12\) ✅
Una altura en un triángulo pequeño es 8, y la altura correspondiente en un triángulo grande es 20. ¿Cuál es la razón de los perímetros pequeño a grande?
💡 Explicación:
Razón alturas = razón semejanza = 8:20 = 2:5. Los perímetros (también lineales) están en la misma razón ✅
La razón de las áreas entre un triángulo pequeño y un grande es 1 a 16. Los triángulos son semejantes. ¿Cuál es la razón de las alturas pequeño a grande?
💡 Explicación:
Razón áreas = (razón semejanza)². Por tanto: \(\sqrt{1:16} = 1:4\) = razón de alturas ✅
Un estudiante calculó: la razón de semejanza pequeño a grande es 3 a 7, por lo tanto la razón de las alturas es 9 a 49. ¿Cuál es el error?
💡 Explicación:
El estudiante elevó al cuadrado 3:7 → 9:49 — eso es correcto para áreas, no para alturas. La razón de alturas es 3:7 directo ✅
Una base pequeña es 6 cm, una base grande es 15 cm. Una altura pequeña es 4 cm. ¿Cuál será la altura grande?
💡 Explicación:
Razón bases: 6:15 = 2:5. Altura: \(\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow x = 10\) cm ✅
¿Se puede usar el teorema de semejanza respecto a las alturas en el diagrama siguiente?
¿Se pueden comparar las alturas?
💡 Explicación:
El diagrama muestra alturas a lados no correspondientes (AB en pequeño vs A₁C₁ en grande). El teorema no se aplica aquí ✅
Una altura en un triángulo pequeño es 3, y en un triángulo grande la altura correspondiente es 12. ¿Cuál es la razón de semejanza pequeño a grande?
💡 Explicación:
3:12 = 1:4 (simplificado) ✅
La razón de semejanza pequeño a grande es 2 a 3. Una altura pequeña es 10 cm. ¿Cuál es la altura grande?
💡 Explicación:
\(\dfrac{10}{x} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow x = 15\) cm ✅
¿Cuál es el principio central en el teorema de semejanza respecto a las alturas?
💡 Explicación:
Esencia: la altura es 1-dimensional (longitud) → escala lineal con la razón de semejanza. Es la idea clave de todo el tema ✅