Números complejos - Parte 5
Fórmula de De Moivre, multiplicación, división, potencias y raíces
✖️ Multiplicación de complejos en forma polar
si \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) y \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)
\(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)\)
💡 En palabras:
- los módulos se multiplican: \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- los argumentos se suman: \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
➗ División de complejos en forma polar
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right)\)
💡 En palabras:
- los módulos se dividen: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- los argumentos se restan: \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
✏️ Ejemplo 1: multiplicación en forma polar
Calcular:
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
\(z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)
hallar \(z_1 \cdot z_2\)
Solución:
Módulo: \(r_1 \cdot r_2 = 2 \cdot 3 = 6\)
Argumento: \(\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\)
Respuesta: \(z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6i\)
⭐ Fórmula de De Moivre
\(\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
💡 En palabras:
- el módulo elevado a n: \(|z^n| = |z|^n\)
- el argumento por n: \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\)
⚡ ¡también funciona para n negativo y fraccionario!
✏️ Ejemplo 2: potencia en forma polar
Calcular: \((1 + i)^8\)
Solución:
Paso 1: convertir a forma polar
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (cuadrante I)
\(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
Paso 2: aplicar De Moivre
\((1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right)\)
\(= (\sqrt{2})^8 (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)\)
Paso 3: calcular
\((\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^4 = 16\)
\(\cos 2\pi = 1, \quad \sin 2\pi = 0\)
Respuesta: \((1+i)^8 = 16 \cdot (1 + 0 \cdot i) = 16\)
✏️ Ejemplo 3: otra potencia
Calcular: \(\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{12}\)
Solución:
Paso 1: notar que ya está en la circunferencia unidad
\(r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1\)
\(\theta = \frac{\pi}{3}\) (porque \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))
Paso 2: De Moivre
\(z^{12} = 1^{12} \left(\cos\frac{12\pi}{3} + i\sin\frac{12\pi}{3}\right)\)
\(= \cos 4\pi + i\sin 4\pi = 1\)
Respuesta: \(1\)
√ Raíces de números complejos
las raíces n-ésimas de \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) son:
\(z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\)
donde \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 Propiedades de las raíces:
- hay exactamente n raíces distintas
- todas las raíces están en una circunferencia de radio \(\sqrt[n]{r}\)
- las raíces dividen la circunferencia en n partes iguales
- el ángulo entre raíces consecutivas: \(\frac{2\pi}{n}\)
✏️ Ejemplo 4: raíces cúbicas de 8
Hallar: \(\sqrt[3]{8}\) (todas las raíces complejas)
Solución:
Paso 1: escribir 8 en forma polar
\(8 = 8(\cos 0 + i\sin 0)\)
\(r = 8, \quad \theta = 0\)
Paso 2: calcular las tres raíces (k = 0, 1, 2)
\(\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2\)
\(z_k = 2\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3}\right)\)
k = 0:
\(z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2\)
k = 1:
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
k = 2:
\(z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
Respuesta: \(z = 2, \, -1+\sqrt{3}i, \, -1-\sqrt{3}i\)
⭕ Raíces de la unidad (raíces de 1)
las raíces n-ésimas de la unidad (soluciones de \(z^n = 1\)):
\(\omega_k = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}\)
donde \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 Propiedades:
- todas las raíces están en la circunferencia unidad (r = 1)
- la primera raíz siempre es \(\omega_0 = 1\)
- se denotan a veces: \(\omega = e^{2\pi i/n}\)
Ejemplo: raíces cuartas de la unidad
soluciones de \(z^4 = 1\):
\(\omega_0 = 1, \quad \omega_1 = i, \quad \omega_2 = -1, \quad \omega_3 = -i\)
✏️ Ejemplo 5: raíces cuartas de -1
Hallar: \(\sqrt[4]{-1}\)
Solución:
Paso 1: \(-1\) en forma polar
\(-1 = 1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi)\)
Paso 2: fórmula de las raíces
\(z_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{4}\)
k = 0: \(\theta = \frac{\pi}{4}\) → \(z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 1: \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) → \(z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 2: \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) → \(z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 3: \(\theta = \frac{7\pi}{4}\) → \(z_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
Respuesta: \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i\) (4 raíces)
📋 Tabla resumen - fórmulas de De Moivre
| operación | módulo | argumento |
|---|---|---|
| multiplicación \(z_1 \cdot z_2\) | \(r_1 \cdot r_2\) | \(\theta_1 + \theta_2\) |
| división \(\frac{z_1}{z_2}\) | \(\frac{r_1}{r_2}\) | \(\theta_1 - \theta_2\) |
| potencia \(z^n\) | \(r^n\) | \(n\theta\) |
| raíz \(\sqrt[n]{z}\) | \(\sqrt[n]{r}\) | \(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\) |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ Potencias
primero convertir a polar, después aplicar De Moivre
2️⃣ Raíces
¡hay n raíces! no olvidar k=0,1,...,n-1
3️⃣ Simplificar ángulos
si \(\theta > 2\pi\), restar \(2\pi\)
4️⃣ Dibujo
¡las raíces están en una circunferencia, dibujarlas!
📝 Resumen Parte 5
Fórmula de De Moivre:
\([r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
¡este es el final del tema! ahora estás listo para los exámenes 🎉