Nombres complexes - Partie 5
Formule de De Moivre, multiplication, division, puissances et racines
✖️ Multiplication de complexes en forme polaire
si \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) et \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)
\(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)\)
💡 En mots :
- les modules se multiplient : \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- les arguments s'ajoutent : \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
➗ Division de complexes en forme polaire
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right)\)
💡 En mots :
- les modules se divisent : \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- les arguments se soustraient : \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
✏️ Exemple 1 : multiplication en forme polaire
Calculer :
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
\(z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)
trouver \(z_1 \cdot z_2\)
Solution :
Module : \(r_1 \cdot r_2 = 2 \cdot 3 = 6\)
Argument : \(\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\)
Réponse : \(z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6i\)
⭐ Formule de De Moivre
\(\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
💡 En mots :
- le module élevé à la puissance n : \(|z^n| = |z|^n\)
- l'argument multiplié par n : \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\)
⚡ cela fonctionne aussi pour n négatif et fractionnaire !
✏️ Exemple 2 : puissance en forme polaire
Calculer : \((1 + i)^8\)
Solution :
Étape 1 : convertir en forme polaire
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
\(\theta = \frac{\pi}{4}\) (quadrant I)
\(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)
Étape 2 : appliquer De Moivre
\((1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 \left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right)\)
\(= (\sqrt{2})^8 (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)\)
Étape 3 : calculer
\((\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8 = 2^4 = 16\)
\(\cos 2\pi = 1, \quad \sin 2\pi = 0\)
Réponse : \((1+i)^8 = 16 \cdot (1 + 0 \cdot i) = 16\)
✏️ Exemple 3 : autre puissance
Calculer : \(\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{12}\)
Solution :
Étape 1 : remarquer qu'il est déjà sur le cercle unité
\(r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1\)
\(\theta = \frac{\pi}{3}\) (car \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))
Étape 2 : De Moivre
\(z^{12} = 1^{12} \left(\cos\frac{12\pi}{3} + i\sin\frac{12\pi}{3}\right)\)
\(= \cos 4\pi + i\sin 4\pi = 1\)
Réponse : \(1\)
√ Racines de nombres complexes
les racines n-ièmes de \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) sont :
\(z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\)
où \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 Propriétés des racines :
- il y a exactement n racines distinctes
- toutes les racines sont sur un cercle de rayon \(\sqrt[n]{r}\)
- les racines divisent le cercle en n parties égales
- l'angle entre racines consécutives : \(\frac{2\pi}{n}\)
✏️ Exemple 4 : racines cubiques de 8
Trouver : \(\sqrt[3]{8}\) (toutes les racines complexes)
Solution :
Étape 1 : écrire 8 en forme polaire
\(8 = 8(\cos 0 + i\sin 0)\)
\(r = 8, \quad \theta = 0\)
Étape 2 : calculer les trois racines (k = 0, 1, 2)
\(\sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{8} = 2\)
\(z_k = 2\left(\cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3}\right)\)
k = 0:
\(z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2\)
k = 1:
\(z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
k = 2:
\(z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
Réponse : \(z = 2, \, -1+\sqrt{3}i, \, -1-\sqrt{3}i\)
⭕ Racines de l'unité (racines de 1)
les racines n-ièmes de l'unité (solutions de \(z^n = 1\)) :
\(\omega_k = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}\)
où \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\)
💡 Propriétés :
- toutes les racines sont sur le cercle unité (r = 1)
- la première racine est toujours \(\omega_0 = 1\)
- on les note parfois : \(\omega = e^{2\pi i/n}\)
Exemple : racines quatrièmes de l'unité
solutions de \(z^4 = 1\) :
\(\omega_0 = 1, \quad \omega_1 = i, \quad \omega_2 = -1, \quad \omega_3 = -i\)
✏️ Exemple 5 : racines quatrièmes de -1
Trouver : \(\sqrt[4]{-1}\)
Solution :
Étape 1 : \(-1\) en forme polaire
\(-1 = 1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi)\)
Étape 2 : formule des racines
\(z_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{4}\)
k = 0: \(\theta = \frac{\pi}{4}\) → \(z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 1: \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) → \(z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 2: \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) → \(z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
k = 3: \(\theta = \frac{7\pi}{4}\) → \(z_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\)
Réponse : \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i\) (4 racines)
📋 Tableau récapitulatif - formules de De Moivre
| opération | module | argument |
|---|---|---|
| multiplication \(z_1 \cdot z_2\) | \(r_1 \cdot r_2\) | \(\theta_1 + \theta_2\) |
| division \(\frac{z_1}{z_2}\) | \(\frac{r_1}{r_2}\) | \(\theta_1 - \theta_2\) |
| puissance \(z^n\) | \(r^n\) | \(n\theta\) |
| racine \(\sqrt[n]{z}\) | \(\sqrt[n]{r}\) | \(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\) |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Puissances
d'abord convertir en polaire, puis appliquer De Moivre
2️⃣ Racines
il y a n racines ! ne pas oublier k=0,1,...,n-1
3️⃣ Simplifier les angles
si \(\theta > 2\pi\), soustraire \(2\pi\)
4️⃣ Dessin
les racines sont sur un cercle, les dessiner !
📝 Résumé Partie 5
Formule de De Moivre:
\([r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
c'est la fin du sujet ! maintenant vous êtes prêt pour les examens 🎉