Vectores geométricos - Parte 1
Introducción, definiciones y conceptos básicos
🎯 ¿Qué es un vector?
un vector es una magnitud que tiene dirección y módulo (magnitud)
💡 Diferencia entre escalar y vector:
| escalar (número ordinario) | vector |
|---|---|
| solo magnitud | magnitud + dirección |
| ejemplos: temperatura, masa, tiempo, longitud | ejemplos: velocidad, fuerza, aceleración, desplazamiento |
🚗 Ejemplo de la vida real:
"el coche viaja a 60 km/h" - ¡esto no es suficiente!
"el coche viaja a 60 km/h hacia el norte" - ahora tenemos un vector velocidad.
📐 Representación gráfica de un vector
un vector se representa como un segmento orientado (flecha) con:
- origen (A) - "cola" del vector
- extremo (B) - "cabeza" del vector (punta de la flecha)
- dirección - de A a B
- módulo - longitud del segmento AB
✏️ Notación de los vectores
1. Por puntos:
\(\overrightarrow{AB}\)
vector del punto A al punto B
2. Letra minúscula con flecha:
\(\vec{v}\) o \(\vec{u}\) o \(\vec{a}\)
3. Letra en negrita (en libros):
v o u
⚠️ Atención:
\(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\)
¡estos son vectores con direcciones opuestas!
📏 Módulo (longitud) de un vector
el módulo del vector \(\vec{v}\) se denota:
\(|\vec{v}|\) o \(\|\vec{v}\|\)
Ejemplo:
si \(\overrightarrow{AB}\) es un vector de A a B, entonces:
\(|\overrightarrow{AB}|\) = longitud del segmento AB = distancia entre A y B
💡 Propiedades:
- \(|\vec{v}| \geq 0\) (el módulo es siempre no negativo)
- \(|\vec{v}| = 0\) si y solo si \(\vec{v} = \vec{0}\)
⚖️ Vectores iguales
dos vectores son iguales si tienen:
el mismo módulo + la misma dirección
💡 Importante entender:
¡la posición del vector no importa!
dos vectores pueden ser iguales aunque estén en lugares distintos del plano.
Ejemplo:
en el paralelogramo ABCD:
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (mismo módulo y dirección)
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
⭕ Vector nulo
el vector nulo es un vector cuyo módulo es 0:
\(\vec{0}\) donde \(|\vec{0}| = 0\)
💡 Propiedades:
- origen = extremo (un punto)
- no tiene dirección definida
- \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\) para cualquier punto A
⭐ Propiedad importante:
\(\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}\)
(como el 0 en la suma de números)
↔️ Vector opuesto
el vector opuesto de \(\vec{v}\) es un vector con:
- el mismo módulo
- dirección opuesta
se denota: \(-\vec{v}\)
💡 Relaciones:
\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)
\(\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}\)
\(|-\vec{v}| = |\vec{v}|\)
1️⃣ Vector unitario
un vector unitario es un vector cuyo módulo es 1:
\(|\hat{v}| = 1\)
💡 ¿Cómo se construye un vector unitario?
se divide el vector entre su módulo:
\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)
vector unitario en la dirección de \(\vec{v}\)
Vectores unitarios estándar:
\(\hat{i}\) - vector unitario en la dirección del eje x
\(\hat{j}\) - vector unitario en la dirección del eje y
∥ Vectores paralelos
dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son paralelos si:
\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)
para algún escalar k (\(k \neq 0\))
💡 Atención:
- si k > 0: misma dirección
- si k < 0: dirección opuesta
- los vectores paralelos están sobre rectas paralelas (o sobre la misma recta)
📋 Tabla resumen - conceptos básicos
| concepto | notación | significado |
|---|---|---|
| vector | \(\vec{v}\) o \(\overrightarrow{AB}\) | magnitud + dirección |
| módulo | \(|\vec{v}|\) | la magnitud del vector |
| vector nulo | \(\vec{0}\) | módulo 0, sin dirección |
| vector opuesto | \(-\vec{v}\) | mismo módulo, dirección opuesta |
| vector unitario | \(\hat{v}\) | módulo = 1 |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ ¡el orden importa!
\(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\)
2️⃣ Igualdad de vectores
mismo módulo + misma dirección
3️⃣ Vector nulo
\(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\)
4️⃣ Opuesto
\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)
📝 Resumen Parte 1
vector = magnitud + dirección
\(|\vec{v}|\) = módulo del vector
\(-\vec{v}\) = vector opuesto
en la siguiente parte: suma y resta de vectores, multiplicación por escalar