向量是一个具有方向和长度(大小)的量

💡 标量与向量的区别:

🚗 生活中的例子:

"汽车以每小时 60 公里行驶" - 这还不够!

"汽车以每小时 60 公里向北行驶" - 现在我们有了一个速度向量。

• 起点(A)- 向量的"尾部"
• 终点(B)- 向量的"头部"(箭头端)
• 方向 - 从 A 到 B
• 长度 - 线段 AB 的长度

⚠️ 注意:

\(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\)

这是方向相反的两个向量!

向量 \(\vec{v}\) 的长度记作:

\(|\vec{v}|\)   或   \(\|\vec{v}\|\)

例:

若 \(\overrightarrow{AB}\) 是从 A 到 B 的向量,则:

\(|\overrightarrow{AB}|\) = 线段 AB 的长度 = A 到 B 的距离

💡 性质:

• \(|\vec{v}| \geq 0\)(长度始终非负)
• \(|\vec{v}| = 0\) 当且仅当 \(\vec{v} = \vec{0}\)

两个向量相等当且仅当它们具有:

相同的长度 + 相同的方向

💡 重要理解:

向量的位置无关紧要!

两个向量即使位于平面内的不同位置,也可以相等。

例:

在平行四边形 ABCD 中:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)(长度相同,方向相同)

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)

零向量是长度为 0 的向量:

\(\vec{0}\)   其中   \(|\vec{0}| = 0\)

💡 性质:

• 起点 = 终点(一个点)
• 方向不确定
• 对任意点 A,\(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\)

⭐ 重要性质:

\(\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}\)

(类似数字加法中的 0)

\(\vec{v}\) 的相反向量是一个具有以下性质的向量:

• 长度相同
• 方向相反

记作:\(-\vec{v}\)

💡 关系:

\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)

\(\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}\)

\(|-\vec{v}| = |\vec{v}|\)

单位向量是长度为 1 的向量:

\(|\hat{v}| = 1\)

💡 如何构造单位向量?

将向量除以其长度:

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

沿 \(\vec{v}\) 方向的单位向量

标准单位向量:

\(\hat{i}\) - 沿 x 轴方向的单位向量

\(\hat{j}\) - 沿 y 轴方向的单位向量

两个向量 \(\vec{u}\) 与 \(\vec{v}\) 平行当且仅当:

\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)

对某个标量 k(\(k \neq 0\))

💡 注意:

• 若 k > 0:方向相同
• 若 k < 0:方向相反
• 平行向量位于平行直线上(或同一直线上)

下一部分:向量的加法、减法与数乘