📐 Suite arithmétique
Terme général, calcul de la raison et de la position
🎯 Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Exemples :
|
\(2, 5, 8, 11, 14, ...\) Raison : +3 |
\(20, 17, 14, 11, 8, ...\) Raison : −3 |
🔤 Notations de base
| Symbole | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| \(a_1\) | Premier terme de la suite | Dans la suite 2,5,8,... → \(a_1 = 2\) |
| \(d\) | Raison (le saut) entre termes consécutifs | Dans la suite 2,5,8,... → \(d = 3\) |
| \(n\) | Position (rang) du terme | Le troisième terme → \(n = 3\) |
| \(a_n\) | Terme général - le terme en position n | Le terme en position 10 → \(a_{10}\) |
⭐ Formule du terme général
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
💡 Explication de la formule :
Para llegar del primer término al término n, hay que dar \(n-1\) saltos
🎵 Pour retenir : "premier terme plus (position moins un) fois raison"
✏️ Exemple 1: encontrar un término según su posición
Question : dans une suite arithmétique \(a_1 = 5\) y \(d = 4\). Calculer \(a_{20}\).
Solution :
On substitue dans la formule : \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
\(a_{20} = 5 + (20-1) \cdot 4\)
\(a_{20} = 5 + 19 \cdot 4\)
\(a_{20} = 5 + 76 = 81\)
Réponse : \(a_{20} = 81\)
🔍 Trouver la raison (d)
Méthode 1 : avec deux termes consécutifs
\(d = a_{n+1} - a_n\)
Raison = terme suivant moins terme actuel
Méthode 2 : avec deux termes quelconques
\(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\)
Différence des valeurs divisée par la différence des positions
✏️ Exemple 2: encontrar la diferencia
Question : dans une suite arithmétique \(a_3 = 11\) y \(a_7 = 27\). Calculer \(d\).
Solution :
On utilise la formule : \(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\)
\(d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{27 - 11}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
Réponse : \(d = 4\)
💡 Explication : entre le troisième et le septième terme il y a 4 "sauts" (7−3=4).
La différence des valeurs est 16, donc chaque saut = 16÷4 = 4
📍 Trouver la position d'un terme (n)
À partir de la formule \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\) on isole \(n\):
\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)
Développement de la formule :
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
\(a_n - a_1 = (n-1) \cdot d\)
\(\frac{a_n - a_1}{d} = n-1\)
\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)
✏️ Exemple 3: encontrar la posición
Question : dans une suite arithmétique \(a_1 = 7\) y \(d = 3\). À quelle position se trouve le terme 52 ?
Solution :
On substitue \(a_n = 52\) dans la formule :
\(52 = 7 + (n-1) \cdot 3\)
\(52 - 7 = (n-1) \cdot 3\)
\(45 = (n-1) \cdot 3\)
\(n-1 = 15\)
\(n = 16\)
Réponse : le terme 52 est en position 16
🏁 Trouver le premier terme (a₁)
En isolant \(a_1\) de la formule :
\(a_1 = a_n - (n-1) \cdot d\)
✏️ Exemple 4:
Question : dans une suite arithmétique \(a_8 = 50\) y \(d = 6\). Calculer \(a_1\).
\(a_1 = a_8 - (8-1) \cdot d\)
\(a_1 = 50 - 7 \cdot 6\)
\(a_1 = 50 - 42 = 8\)
Réponse : \(a_1 = 8\)
❓ Vérifier si un nombre appartient à la suite
Méthode : on substitue le nombre comme \(a_n\) et on vérifie si \(n\) donne un entier naturel (entier positif)
✏️ Exemple 5:
Question : dans la suite \(a_1 = 3\), \(d = 5\). 48 appartient-il à la suite ?
\(48 = 3 + (n-1) \cdot 5\)
\(45 = (n-1) \cdot 5\)
\(n-1 = 9\)
\(n = 10\) ✓ (entier naturel)
Réponse : oui ! 48 est le 10ᵉ terme de la suite
✏️ Exemple 6:
Question : dans la même suite, 50 appartient-il à la suite ?
\(50 = 3 + (n-1) \cdot 5\)
\(47 = (n-1) \cdot 5\)
\(n-1 = 9.4\)
\(n = 10.4\) ✗ (n'est pas un entier naturel !)
Réponse : non ! 50 n'appartient pas à la suite
📋 Récapitulatif des formules
| Ce que l'on cherche | Formule |
|---|---|
| Terme général | \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\) |
| Raison (avec termes consécutifs) | \(d = a_{n+1} - a_n\) |
| Raison (avec termes quelconques) | \(d = \frac{a_m - a_k}{m - k}\) |
| Position d'un terme | \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\) |
| Premier terme | \(a_1 = a_n - (n-1) \cdot d\) |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Identifier les données
Identifier d'abord ce qui est donné : \(a_1\)? \(d\)? quel terme ?
2️⃣ (n−1) et non n
Erreur fréquente ! Dans la formule c'est \((n-1)\) et non \(n\)
3️⃣ Raison négative
Si la suite décroît, la raison \(d\) est négative !
4️⃣ Vérifier la cohérence
La position doit être un entier naturel (entier positif)
📝 Formule central
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
On peut isoler de cette formule toute variable nécessaire !