∫ Intégration par changement de variable
Méthode pour résoudre des intégrales complexes
🎯 Quand utiliser le changement de variable ?
Le changement de variable est adapté quand on a une fonction composée - une fonction à l'intérieur d'une autre fonction.
Signe évident : quand on voit quelque chose comme :
- \((2x+3)^5\) - expression élevée à une puissance
- \(\sqrt{x^2+1}\) - racine d'une expression
- \(e^{3x}\) - exposant avec expression
- \(\sin(2x)\) - fonction trigonométrique d'une expression
💡 Idée centrale
Le changement de variable est la "règle de la chaîne à l'envers".
Si dans la dérivation on utilise la règle de la chaîne :
\([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
alors dans l'intégrale on fait l'opération inverse :
\(\int f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = f(g(x)) + C\)
📝 Étapes de la méthode
Étape 1 : choisir la substitution
on définit \(u = g(x)\) (généralement l'expression "intérieure")
Étape 2 : calculer du
on dérive : \(du = g'(x) \, dx\)
o: \(dx = \frac{du}{g'(x)}\)
Étape 3 : substituer dans l'intégrale
on remplace tous les x et dx par u et du
Étape 4 : résoudre
on résout la nouvelle intégrale (qui est généralement plus simple)
Étape 5 : revenir à x
on substitue à nouveau \(u = g(x)\)
✏️ Exemple 1 : puissance d'une expression linéaire
Calculer : \(\int (2x+3)^5 \, dx\)
Solution :
Étape 1 : on choisit la substitution
\(u = 2x + 3\)
Étape 2 : on calcule du
\(\frac{du}{dx} = 2\)
\(du = 2 \, dx\)
\(dx = \frac{du}{2}\)
Étape 3 : on substitue dans l'intégrale
\(\int (2x+3)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2}\)
\(= \frac{1}{2} \int u^5 \, du\)
Étape 4 : on résout
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C\)
Étape 5 : on revient à x
\(= \frac{(2x+3)^6}{12} + C\)
Réponse : \(\frac{(2x+3)^6}{12} + C\)
⚡ Formule rapide pour expression linéaire
quand il y a une expression linéaire \((ax + b)\) dans une fonction :
\(\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C\)
où F est la primitive de f
💡 En mots : on divise par le coefficient de x !
Exemples :
| \(\int (3x+1)^4 \, dx = \frac{(3x+1)^5}{5 \cdot 3} + C = \frac{(3x+1)^5}{15} + C\) |
| \(\int e^{5x} \, dx = \frac{e^{5x}}{5} + C\) |
| \(\int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2} + C\) |
| \(\int \frac{1}{4x-1} \, dx = \frac{\ln|4x-1|}{4} + C\) |
✏️ Ejemplo 2: racine d'une expression
Calculer : \(\int x\sqrt{x^2+1} \, dx\)
Solution :
Étape 1 : on choisit la substitution (ce qui est sous la racine)
\(u = x^2 + 1\)
Étape 2 : on calcule du
\(du = 2x \, dx\)
\(x \, dx = \frac{du}{2}\)
Étape 3 : on substitue dans l'intégrale
\(\int x\sqrt{x^2+1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}\)
\(= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du\)
Étape 4 : on résout
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C\)
Étape 5 : on revient à x
\(= \frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}\sqrt{(x^2+1)^3} + C\)
Réponse : \(\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C\)
✏️ Exemple 3 : fonction exponentielle
Calculer : \(\int x \cdot e^{x^2} \, dx\)
Solution :
Étape 1 : substitution
\(u = x^2\)
Étape 2 : du
\(du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}\)
Étape 3+4 : substitution et résolution
\(\int x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C\)
Étape 5 : retour à x
\(= \frac{1}{2} e^{x^2} + C\)
Réponse : \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)
✏️ Exemple 4 : logarithme
Calculer : \(\int \frac{\ln x}{x} \, dx\)
Solution :
Étape 1 : substitution
\(u = \ln x\)
Étape 2 : du
\(du = \frac{1}{x} \, dx\)
Étape 3+4 : substitution et résolution
\(\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C\)
Étape 5 : retour à x
\(= \frac{(\ln x)^2}{2} + C\)
Réponse : \(\frac{(\ln x)^2}{2} + C\)
✏️ Exemple 5 : intégrale définie avec changement de variable
Calculer : \(\int_0^1 x(x^2+1)^3 \, dx\)
Solution :
Étape 1 : substitution
\(u = x^2 + 1\)
\(du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}\)
Étape 2 : on change les bornes !
quand \(x = 0\) : \(u = 0^2 + 1 = 1\)
quand \(x = 1\) : \(u = 1^2 + 1 = 2\)
Étape 3 : la nouvelle intégrale
\(\int_0^1 x(x^2+1)^3 \, dx = \int_1^2 u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^2 u^3 \, du\)
Étape 4 : résolution
\(= \frac{1}{2} \Big[ \frac{u^4}{4} \Big]_1^2\)
\(= \frac{1}{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right)\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8}\)
Réponse : \(\frac{15}{8}\)
⚠️ Important : dans une intégrale définie, il faut aussi changer les bornes en u !
ainsi pas besoin de revenir à x à la fin.
🎯 Comment choisir u ?
| type d'intégrale | quoi choisir comme u |
|---|---|
| \(\int f(ax+b) \, dx\) | \(u = ax + b\) |
| \(\int x \cdot f(x^2) \, dx\) | \(u = x^2\) |
| \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\) | \(u = f(x)\) → résultat : \(\ln|u|\) |
| \(\int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx\) | \(u = f(x)\) |
| \(\int \sin^n x \cos x \, dx\) | \(u = \sin x\) |
💡 Règle générale :
choisir u comme l'expression dont la dérivée apparaît dans l'intégrale (ou presque)
📋 Intégrales importantes (à retenir !)
| intégrale | résultat |
|---|---|
| \(\int (ax+b)^n \, dx\) | \(\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\) |
| \(\int \frac{1}{ax+b} \, dx\) | \(\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C\) |
| \(\int e^{ax+b} \, dx\) | \(\frac{1}{a}e^{ax+b} + C\) |
| \(\int \sin(ax+b) \, dx\) | \(-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C\) |
| \(\int \cos(ax+b) \, dx\) | \(\frac{1}{a}\sin(ax+b) + C\) |
| \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\) | \(\ln|f(x)| + C\) |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Reconnaître le motif
chercher une fonction dont la dérivée apparaît dans l'intégrale
2️⃣ Ne pas oublier de diviser
si \(du = 2x \, dx\), alors \(x \, dx = \frac{du}{2}\)
3️⃣ Bornes dans intégrale définie
changer les bornes en u ou revenir à x avant la substitution
4️⃣ Vérifier en dérivant
on peut toujours dériver le résultat et vérifier qu'on obtient l'intégrande
📝 Résumé
Changement de variable : \(u = g(x)\), \(du = g'(x) \, dx\)
Expression linéaire : \(\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\)
la clé : identifier l'expression intérieure et sa dérivée