Multiplication : la multiplication est l'addition répétée du même nombre.

\[ a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{b \text{ fois}} \]

Par exemple, \(4 \times 3\) signifie 4 pris 3 fois : \(4 + 4 + 4 = 12\).

Propriétés de la multiplication :

• Commutativité : \(a \times b = b \times a\) (on peut changer l'ordre).
• Multiplier par 1 : \(a \times 1 = a\).
• Multiplier par 0 : \(a \times 0 = 0\).

Division : la division consiste à partager en groupes égaux.

\[ a \div b = c \quad \Longleftrightarrow \quad b \times c = a \]

Par exemple, \(20 \div 4 = 5\) car \(4 \times 5 = 20\).

La multiplication et la division sont des opérations inverses — on peut toujours vérifier une division par une multiplication.

Exemple 1 : Multiplication — addition répétée

Énoncé : Dans un jardin, il y a 5 plates-bandes avec 6 fleurs chacune. Combien de fleurs en tout ?

Solution :

1. 5 plates-bandes, 6 fleurs chacune → c'est une multiplication : \( 5 \times 6 \).
2. En addition répétée : \( 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 \).
3. Avec la table : \( 5 \times 6 = 30 \).

Réponse : \( 30 \) fleurs.

Exemple 2 : Commutativité — on peut changer l'ordre

Énoncé : Calcule : \( 9 \times 3 \). Peut-on aussi calculer \( 3 \times 9 \) ?

Solution :

1. \( 9 \times 3 \) : 9 + 9 + 9 = 27.
2. \( 3 \times 9 \) : 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27.
3. Les deux calculs donnent 27 — en multiplication, on peut toujours changer l'ordre !

Réponse : \( 9 \times 3 = 3 \times 9 = 27 \)

Exemple 3 : Division — partage en groupes égaux

Énoncé : Il y a 36 biscuits. On veut les partager également entre 4 enfants. Combien chaque enfant reçoit-il ?

Solution :

1. \( 36 \div 4 = ? \)
2. On se demande : \( 4 \times ? = 36 \).
3. Avec la table : \( 4 \times 9 = 36 \).
4. Vérification : \( 9 \times 4 = 36 \). Correct !

Réponse : Chaque enfant reçoit \( 9 \) biscuits.

Exemple 4 : Le lien entre multiplication et division

Énoncé : Si \( 7 \times 8 = 56 \), écris deux faits de division.

Solution :

1. Une multiplication donne deux divisions.
2. \( 56 \div 7 = 8 \) (56 partagé en 7 groupes = 8 dans chaque groupe).
3. \( 56 \div 8 = 7 \) (56 partagé en 8 groupes = 7 dans chaque groupe).

Réponse : \( 56 \div 7 = 8 \) et \( 56 \div 8 = 7 \).

Exemple 5 : Problème de mots — combien de rangées ?

Énoncé : 42 élèves sont assis en rangées de 7. Combien y a-t-il de rangées ?

Solution :

1. On cherche le nombre de groupes → division : \( 42 \div 7 = ? \)
2. \( 7 \times 6 = 42 \), donc \( 42 \div 7 = 6 \).
3. Vérification : \( 6 \times 7 = 42 \). Correct !

Réponse : Il y a \( 6 \) rangées.

✗ Erreur fréquente : On confond « combien de groupes » et « combien dans chaque groupe » et on multiplie quand il faudrait diviser.

✓ La bonne méthode : Si on connaît le total et qu'on veut savoir combien par part — c'est la division. Si on connaît le nombre de groupes et la taille de chaque groupe — c'est la multiplication.

✗ Erreur fréquente : On pense qu'on ne peut pas changer l'ordre : \( 3 \times 8 \neq 8 \times 3 \).

✓ La bonne méthode : En multiplication, on peut toujours changer l'ordre ! \( 3 \times 8 = 8 \times 3 = 24 \). Choisis toujours l'ordre qui te semble le plus facile.

✗ Erreur fréquente : On ne vérifie pas la réponse d'une division par une multiplication.

✓ La bonne méthode : Après chaque division : multiplie le quotient par le diviseur. Tu dois retrouver le dividende. \( 42 \div 7 = 6 \) ? Vérifie : \( 6 \times 7 = 42 \). Oui !

• Multiplication : \( a \times b \) = addition de \(a\) répétée \(b\) fois. L'ordre ne compte pas.
• Division : \( a \div b = c \Leftrightarrow b \times c = a \). Toujours vérifier par multiplication.
• Multiplier par 0 = 0. Multiplier par 1 = même nombre. Multiplier par 10 = ajouter un 0.
• Multiplication et division sont des opérations inverses — multiplication ≈ « addition répétée », division ≈ « soustraction répétée ».