תרגול מתאם - קורולציה - מקדם המתאם של פירסון חלק ד'

תרגול מתאם - קורולציה - מקדם המתאם של פירסון חלק ד'. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא מתאם - קורולציה - מקדם המתאם של פירסון חלק ד'. תרגול סטטיסטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.

תרגול מתאם פירסון חלק ד מתקדם - חישוב+פרשנות עומק, מגבלות r, נקודות קיצון, הטיות, מתי פירסון לא מתאים.

הבנה + חישובים + פרשנות עומק (שלב 4 – מתקדם אך עדיין ברור) התרגול מחבר הכול: חישוב מלא של r פרשנות מתקדמת נתוני אמת עם כיווניות הסקת מסקנות ממצבים אמיתיים זיהוי מצבים שבהם פירסון לא מתאים זיהוי הטיות, נקודות קיצון, קנה מידה לא עקבי ״חכמה״ סטטיסטית אמיתית—לא רק מספרים זה תרגול שמרגיש מאוד מקצועי ולימודי יחד.

30 questions

Question 1

3.33 pts

📈 שאלה 1 — Outlier שמשנה את כל התמונה:
בגרף מפוזר של X ו־Y נראה קשר חיובי חלש (r≈0.20). לאחר הוספת נקודת outlier אחת בקצה העליון־ימני, r קפץ ל־0.85.

מה המסקנה הנכונה?

הר מאוד רגיש ל־outliers, ולכן נקודה אחת יכולה להטות את הקשר וליצור אשליה של קשר חזק.

העלייה ב־r מוכיחה שהקשר באמת חזק.

אם נוספה נקודה, r חייב לעלות תמיד.

outlier לא משפיע על r בכלל.

Explanation:

r הוא מדד מאוד רגיש לנקודות קיצון. נקודה אחת רחוקה גורמת לקו המגמה “להימתח” לכיוונה ← ולכן r עולה מאוד.

הטעות הנפוצה: לפרש את העלייה ב־r כ”התחזקות אמיתית של הקשר”. בפועל — זה פשוט עיוות שנגרם מה־outlier.

Question 2

3.33 pts

📉 שאלה 2 — קשר חזק אך לא קווי:
בגרף רואים צורת U: ככל ש־X מתרחק מהאמצע, Y גדל. מה יהיה r?

r יהיה קרוב לאפס למרות שיש קשר חזק — כי הקשר אינו קווי.

r יהיה קרוב ל־1.

r יהיה קרוב ל־-1.

r לא ניתן לחישוב.

Explanation:

הקשר כאן חזק — אבל לא קווי. פירסון r מודד רק קשר ישר, ולכן במקרה של צורת U הוא יצא נמוך. זו טעות קלאסית של סטודנטים: לחשוב ש"הקשר נראה חזק" → r אמור להיות גבוה. לא נכון. r מזהה ישרות, לא עוצמה כללית.

Question 3

3.33 pts

📊 שאלה 3 — שני עננים שונים:
שני ענני נקודות הם “X נגד Y”. לשניהם אותו r = 0.70.

באחד הפיזור קטן מאוד, ובשני הפיזור עצום — אבל בכיוון עקבי.

מה מסקנה נכונה?

r מתעלם מקנה מידה — הוא מודד רק עד כמה הנקודות קרובות לקו ישר, לא את רוחב הפיזור.

הר הגבוה שייך תמיד לענן הצפוף יותר.

אם הפיזור גדול r חייב להיות חלש.

אי אפשר ששני עננים שונים ייתנו אותו r.

Explanation:

פירסון r מודד יחסיות — לא מרחקים מוחלטים. אם שני העננים שונים בגודל אבל מקיימים את אותו יחס בין סטיות, r יכול להיות זהה. טעות נפוצה: לחשוב ש”פיזור גדול” → r קטן. זה נכון רק אם הפיזור גורם לירידה בישרות — לא בגלל הגודל.

Question 4

3.33 pts

🔄 שאלה 4 — היפוך תפקידים:
מה יקרה לערך r אם נחליף בין X ל־Y?

r יישאר זהה לחלוטין.

r יכפיל את עצמו.

r ישנה סימן.

r יהפוך ל־0.

Explanation:

פירסון סימטרי לחלוטין: \[ r_{xy} = r_{yx} \] החלפת ציר X וציר Y לא משנה את הקשר הקווי ולכן לא משנה את r. טעות נפוצה: לחשוב שעליית X → Y שונה מעליית Y → X. בפירסון — הם שווים.

Question 5

3.33 pts

📐 שאלה 5 — קשר כמעט מושלם, אך עם קפיצה אחת:
בגרף רואים קו ישר עולה כמעט מושלם, חוץ מנקודה אחת שנמצאת קצת רחוק.

מה אפקט נקודה זו על r?

הר ירד מעט אך עדיין יישאר גבוה מאוד.

הר יהפוך לשלילי.

הר יהפוך ל־0.

r יעלה.

Explanation:

נקודה אחת רחוקה מעט תוריד את r — אבל אם שאר הנקודות על קו ישר, הירידה תהיה קטנה. זה לא כמו outlier קיצוני שמשנה הכל. שגיאה נפוצה: לחשוב שכל נקודת חריגה “מפוצצת” את המתאם. זה תלוי עד כמה היא רחוקה.

Question 6

3.33 pts

🧮 שאלה 6 — יחסיות במקום ערכים מוחלטים:
בקבוצת נתונים אחת X ו־Y נעים בין 1–5. בקבוצה אחרת X ו־Y נעים בין 100–500. אך המבנה זהה: כל נקודות הקבוצה השנייה הן פי 100 מהראשונה.

מה יקרה ל־r?

r יהיה זהה בשתי הקבוצות.

r יהיה גדול בקבוצה השנייה.

r יהיה קטן בקבוצה השנייה.

r יהפוך לשלילי.

Explanation:

r אינו מתחשב בקנה מידה. כפל בקבוע או שינוי גודל לא משנה את היחסים בין הסטיות ולכן r זהה. זוהי אחת הסיבות ש־r נקרא מדד “מנורמל”.

Question 7

3.33 pts

📊 שאלה 7 — קשר שלילי כמעט מושלם:
הגרף מראה קו ישר יורד עם פיזור כמעט אפסי.

איזה r ייתכן?

-0.98

-0.30

0.98

Explanation:

קשר שלילי כמעט מושלם פירושו r קרוב ל־-1. הערך -0.98 מתאים לנתונים שבהם כמעט כל הנקודות על קו יורד. טעות נפוצה: לחשוב שקשר שלילי חייב להיות “חלש” — ממש לא.

Question 8

3.33 pts

🧠 שאלה 8 — קשר לא מונוטוני:
בגרף רואים ש־Y גדל עם X בתחילה, ואז מתחיל לרדת. איזה r יתקבל?

קרוב לאפס — כי הקשר אינו חד־כיווני.

גבוה חיובי.

גבוה שלילי.

אי אפשר לחשב r.

Explanation:

זהו קשר לא מונוטוני (לא תמיד עולה ולא תמיד יורד). פירסון מחפש תבנית של “ככל ש־X עולה Y עולה/יורד”. כאן יש שני חלקים הפוכים → המכפלות מבטלות אחת את השניה → r קרוב לאפס. רוב הסטודנטים טועים ומנחשים מתאם חיובי “כי בהתחלה זה עולה”.

Question 9

3.33 pts

🧮 שאלה 9 — מדגם קטן במיוחד:
יש רק 3 זוגות נתונים. מה נכון לגבי r?

ניתן לחשב r, אבל הוא מאוד לא יציב — נקודה אחת יכולה להפוך את הסימן.

אי אפשר לחשב r עם פחות מ־10 תצפיות.

הר חייב להיות 0.

הר חייב להיות בדיוק 1 או -1.

Explanation:

אפשר לחשב r גם ב־3 נקודות — אבל הוא קיצוני ורגיש. נקודה אחת יכולה להפוך מגמה. שגיאה נפוצה: לחשוב שמדגם קטן "מגדיל" את r — לא נכון, הוא פשוט הופך אותו לבלתי יציב.

Question 10

3.33 pts

📊 שאלה 10 — נקודות צפופות באמצע:
בגרף הנקודות רובן מרוכזות באמצע, אך יש כמה נקודות רחוקות בפינות.

מה צפוי לקרות ל־r?

r יקטן — הנקודות הרחוקות יחלישו את הישרות.

r יגדל.

r לא ישתנה.

r יהפוך לשלילי.

Explanation:

כאשר רוב הנתונים צפופים אך יש מספר נקודות רחוקות, אלה מושכות את הקו ופוגעות בישרות → r יורד. הטעות הקלאסית של תלמידים: “הרוב קובע”. בפועל — הנקודות הרחוקות חזקות יותר מ"רוב".

Question 11

3.33 pts

📈 שאלה 11 — קשר חזק אך עם שני Outliers מנוגדים:
בגרף רואים קו כמעט ישר עולה, אך בקצה שמאל למטה ובקצה ימין למעלה יש שתי נקודות קיצון הפוכות.

מה צפוי לקרות ל־r?

r ירד בצורה משמעותית כי ה־outliers עובדים בכיוונים מנוגדים ופוגעים בישרות.

r יעלה.

r יישאר זהה לחלוטין.

r יהפוך לשלילי.

Explanation:

כאשר יש שני outliers הפוכים — אחד מושך את הקו כלפי מעלה והשני כלפי מטה — שניהם ביחד פוגעים בצורה חמורה בישרות, ולכן r יורד בצורה גדולה. טעות נפוצה: לחשוב ש”outlier אחד מנטרל את השני”. בפועל — שניהם מזיקים למתאם.

Question 12

3.33 pts

📉 שאלה 12 — שונות שונה מאוד בין X ל־Y:
ל־X שונות עצומה (ערכים 1 עד 1,000). ל־Y שונות קטנה (ערכים 10 עד 12). אך מבנה הקשר ליניארי. מה יקרה ל־r?

r יהיה גבוה מאוד — כי r מנרמל סטיות ולכן שונות שונה אינה מפריעה.

r יהיה נמוך בגלל חוסר סימטריה.

r יהיה שלילי.

r לא ניתן לחישוב.

Explanation:

r אינו מודד קנה מידה — הוא מנרמל את הסטיות במונחים יחסיים ולא מוחלטים. לכן גם אם X פוחת ו-Y כמעט קבוע — אם המבנה הוא קווי, r יהיה גבוה מאוד. שגיאה נפוצה: “אם X מפוזר ו-Y לא — אין קשר”. בפועל r רגיל לזה.

Question 13

3.33 pts

🧠 שאלה 13 — שני משתנים עם מדגם קטן + Outlier:
במדגם של 4 נקודות, שלוש נקודות מראות מגמה עולה, ואז נקודת Outlier אחת הפוכה לגמרי.

מה נכון?

r יהיה נמוך מאוד ובלתי יציב — כי מדגם קטן רגיש במיוחד ל־outliers.

r יהיה גבוה כי שלושה מול אחד.

r בהכרח יהיה חיובי.

r לא מושפע מגודל המדגם.

Explanation:

במדגמים קטנים אפילו נקודה אחת יכולה להפוך את הסימן ולהפיל את הישרות. זו תכונה ידועה: r במדגם קטן אינו יציב בכלל. טעות נפוצה: לחשוב ש”הרוב קובע”. בפועל — נקודת outlier מקבלת משקל גדול יותר.

Question 14

3.33 pts

📈 שאלה 14 — קשר מושלם בתיאוריה, אבל עם רעש אקראי קטן:
הקשר בין X ל־Y מוגדר על ידי Y = 3X במדויק, אבל המדידות בפועל מכילות רעש קטן כך שיש פיזור זעיר.

מה יקרה ל־r?

r יהיה קרוב מאוד ל־1 אך לא 1 בדיוק.

r יהיה 1 בדיוק.

r יהיה נמוך כי יש רעש.

r יהיה שלילי.

Explanation:

קשר מושלם בתיאוריה + רעש קטן = r גבוה מאוד אך לעולם לא בדיוק 1. בנתונים אמיתיים כמעט אי אפשר לקבל 1. טעות נפוצה: לחשוב ש”קשר ליניארי” = r=1. רעש קטן מוריד מעט את r — וזה תקין.

Question 15

3.33 pts

🔄 שאלה 15 — הפיכת כל ערכי Y ל־1/Y:
אם הופכים את הערכים באמצעות פונקציה לא ליניארית (לדוגמה 1/Y), מה קורה ל־r?

הר יכול להשתנות מאוד כי היחסיות בין סטיות משתנה — שינוי לא קווי שובר את הקשר.

הר יישאר זהה תמיד.

הר יהפוך לשלילי אוטומטית.

הר יהפוך ל־1.

Explanation:

טרנספורמציה לא ליניארית (כמו 1/Y) משנה את מבנה הקשר. אם הקשר היה קווי — הוא עלול להיהרס. r מודד רק קשר קווי ולכן עשוי לצנוח. זוהי בדיוק הסיבה שעושים לפעמים לוג או שורש — כדי לתקן קשר לא קווי.

Question 16

3.33 pts

📊 שאלה 16 — קשר מדומה (spurious correlation):
מתקבל r גבוה בין מספר מקררי הגלידות בעיר לבין ציוני מתמטיקה.

מה ההסבר הנכון?

זה קשר מדומה — ייתכן שמשתנה שלישי משפיע על שניהם.

זה מוכיח שגלידות משפרות מתמטיקה.

הר גבוה תמיד מוכיח קשר סיבתי.

אין אפשרות לקבל r גבוה בין משתנים לא קשורים.

Explanation:

לעיתים שני משתנים עולים ביחד בגלל גורם שלישי (אוכלוסייה/אקלים וכו). r אינו אומר “מי גורם למי”. r גבוה ≠ סיבתיות. זוהי אחת הטעויות הנפוצות ביותר בסטטיסטיקה.

Question 17

3.33 pts

📉 שאלה 17 — קשר שלילי אך עקום:
הנקודות יוצרות צורה של ירידה מתונה ואז נפילה חדה. מה יהיה r?

r יהיה שלילי אך חלש יחסית — כי הישרות נשברת.

r יהיה חיובי.

r יהיה -1.

r לא ניתן לחישוב.

Explanation:

כיוון שלילי קיים — אבל הוא לא קווי. בחלק הראשון הירידה מתונה, בסוף תלולה. זה גורם למכפלות לא רציפות → r שלילי אבל קרוב לאפס ולא גדול בערך מוחלט. תלמידים רבים טועים ומנחשים r≈-0.9 “כי זה יורד חזק”. אבל זה לא קו ישר.

Question 18

3.33 pts

🧮 שאלה 18 — שינוי סקאלה לא אחיד:
X מוכפל ב־2, אבל Y מוכפל ב־3. מה קורה ל־r?

r לא משתנה בכלל — כפל בקבועים לא משנה את היחסיות.

r גדל.

r קטן.

r הופך לשלילי.

Explanation:

גם אם כל משתנה מוכפל בקבוע אחר, אמרנו: r מנרמל כל משתנה לפי סטיית התקן שלו. לכן כפל בקבועים שונים לא משפיע עליו כלל. טעות נפוצה: לחשוב ש”Y גדל יותר → r גדל יותר”. לא נכון.

Question 19

3.33 pts

📊 שאלה 19 — נתונים על שני תחומים שונים:
משווים בין הסכמה בין משקל ותצרוכת דלק של רכבים; ובין זמן לימוד וציון במבחן. בשניהם r≈0.75.

מה זה אומר?

חוזק הקשר הקווי זהה, גם אם מהות המשתנים שונה לחלוטין.

אי אפשר להשוות r בין תחומים שונים.

r גבוה תמיד אומר סיבתיות.

הר ימדוד רק קורלציה חיובית.

Explanation:

r הוא מדד מתמטי טהור — הוא מתייחס לצורה הקווית בלבד. לכן אפשר להשוות אותו בין כל שני משתנים כמותיים. המשמעות: בשני המקרים החוזק הקווי דומה. אך חשוב: r לא מספר לנו שום דבר על סיבתיות.

Question 20

3.33 pts

🧠 שאלה 20 — מה קורה אם מוסיפים נתונים זהים לגמרי?
מוסיפים לכל זוג הנתונים זוג חדש שהוא בדיוק אותו זוג (שכפול). מה יקרה ל־r?

r יישאר זהה — שכפול נתונים שומר על יחסיות הסטיות.

r יעלה.

r ירד.

r יהפוך לשלילי.

Explanation:

אם מכפילים את הנתונים (פשוט מוסיפים עוד העתק של אותו מבנה), המבנה היחסי לא משתנה ולכן r לא משתנה כלל. טעות נפוצה: “יותר נתונים = יותר r”. לא נכון — איכות המבנה קובעת, לא הכמות.

Question 21

3.33 pts

📉 שאלה 21 — נתונים מפוצלים לשתי קבוצות:
בגרף רואים שתי קבוצות נפרדות: קבוצת נקודות עולה, וקבוצת נקודות יורדת. כאשר מסתכלים על שתי הקבוצות יחד — הקשר נראה כאילו אין מגמה ברורה.

מה צפוי לקרות ל־r?

r יהיה קרוב לאפס — שתי המגמות המנוגדות מבטלות זו את זו.

r יהיה גבוה חיובי.

r יהיה גבוה שלילי.

אי אפשר לחשב r במקרה כזה.

Explanation:

כאשר שני חלקים של הנתונים מראים כיוונים הפוכים — אחד חיובי ואחד שלילי — המכפלות במונה של r מתאפסות זו עם זו. התוצאה: r≈0 למרות שיש קשר חזק בתוך כל קבוצה. זוהי תופעה ידועה בסטטיסטיקה: קשר גלובלי “נעלם” בגלל תת־קבוצות.

Question 22

3.33 pts

🧮 שאלה 22 — קשר חיובי אך מנהלי (non-linear monotonic):
הגרף עולה כל הזמן, אך בצורה קעורה (כמו שורש). מה יהיה r?

r יהיה חיובי וחזק אך פחות מ־1 — כי הקשר מונוטוני אך לא קווי.

r יהיה 1.

r יהיה 0.

r יהיה שלילי.

Explanation:

קשר שעולה תמיד (מונוטוני) אבל בקצב משתנה (לא קו ישר), יוצר מתאם חיובי גבוה אך לא מושלם. פירסון “מסתדר” עם קשר עולה, אבל “נפגע” מחוסר קוּוּת. לכן r גבוה אך מתחת ל־1.

Question 23

3.33 pts

📈 שאלה 23 — קשר המושפע ממשתנה שלישי (הטיית מתאם):
הקשר בין X ל־Y נראה חיובי וחזק (r≈0.8). לאחר בדיקה מתגלה שמשתנה Z גורם לשניהם לעלות יחד. מה המשמעות?

הקשר בין X ל־Y אינו אמיתי — זהו קורלציה מדומה שנגרמה על ידי Z.

זה מוכיח ש־X גורם לשינוי ב־Y.

Z לא יכול להשפיע על פירסון.

r גבוה תמיד מצביע על קשר אמיתי.

Explanation:

כשמשתנה שלישי Z גורם ל־X ול־Y לעלות יחד, r עשוי להיות גבוה בלי קשר אמיתי בין X ל־Y. זה נקרא קשר מדומה (spurious correlation). טעות נפוצה: “אם r גבוה — יש סיבתיות”. לא נכון. ייתכן מתאם חזק שנובע רק מגורם משותף.

Question 24

3.33 pts

🧠 שאלה 24 — עוצמת קשר מול שונות:
ל־X שונות ענקית, ל־Y שונות קטנה מאוד. אך למרות זאת, r≈0.90. מה זה מלמד?

עוצמת הקשר אינה תלויה בשונות המוחלטת, אלא ביחסיות בין סטיות.

השונות הקטנה של Y אמורה לגרום ל־r להיות נמוך.

השונות הגדולה של X אמורה לגרום ל־r להיות שלילי.

r אינו מוגדר כאן.

Explanation:

פירסון r מנרמל כל משתנה בסטיית התקן שלו. כלומר, הוא בודק קשר בקני מידה יחסיים ולא מוחלטים. גם אם X “עצום” ו־Y “קטן”, אם שתי קבוצות הסטיות מסודרות קווית — r יהיה גבוה. לכן שונות גדולה/קטנה לא משנה את הכיוון או החוזק.

Question 25

3.33 pts

📊 שאלה 25 — חיבור שתי קבוצות:
שתי קבוצות של נתונים מראות קשר חיובי חלש בתוך כל קבוצה (r≈0.20). אך כאשר מאחדים את שתי הקבוצות — מתקבל r≈0.75.

מה קורה כאן?

תופעה הנקראת פרדוקס סימפסון — איחוד קבוצות יכול לשנות כיוון וחוזק קשר.

זה לא אפשרי — r חייב להיות ממוצע של הקבוצות.

האיחוד מוריד תמיד את המתאם.

הר חייב להיות 0.

Explanation:

זהו פרדוקס סימפסון: כאשר מאחדים קבוצות, היחסים בין הסטיות משתנים — ולכן r יכול להשתנות בצורה דרמטית. לפעמים אפילו מתאם שלילי בקבוצות ייצור חיובי בפועל. זוהי אחת התופעות החשובות ביותר בסטטיסטיקה.

Question 26

3.33 pts

📉 שאלה 26 — קשר קווי כמעט מושלם אבל X כולל כמה ערכים זהים:
בחלק מהמדגם X=5 מופיע מספר פעמים, אבל Y משתנה. מה צפוי לקרות ל־r?

r יישאר גבוה מאוד — ערכי X זהים לא פוגעים בקוויה אם שאר הנתונים ישרים.

r יהפוך ל־0.

r יהפוך לשלילי.

אי אפשר לחשב r אם X חוזר על עצמו.

Explanation:

אין בעיה בכך שחלק מה־X חוזרים על עצמם. r בודק עד כמה הנקודות מסתדרות על קו — אם הקשר הכללי ליניארי, r נשאר גבוה. טעות נפוצה: “אם יש ערכים זהים — הקשר נחלש”. לא נכון.

Question 27

3.33 pts

📈 שאלה 27 — קשר ליניארי אבל רעש אקראי חזק:
הגרף עולה בצורה כללית, אבל יש פיזור משמעותי סביב הקו.

מה צפוי להיות r?

חיובי בינוני (בערך 0.40–0.60) — מגמה קיימת, אך רעש פוגע בישרות.

חיובי מושלם.

שלילי חזק.

0 כי יש רעש.

Explanation:

רעש חזק = סטיות גדולות מהממוצע → המכפלות לא יציבות → r יורד. אבל אם יש מגמה ברורה, עדיין נקבל ערך חיובי. הרבה תלמידים טועים וחושבים: “רעש = אין קשר”. לא נכון. רעש מחליש, לא מבטל.

Question 28

3.33 pts

🔄 שאלה 28 — היפוך סימן רק בחלק מהמדגם:
בחצי הראשון של המדגם הקשר חיובי. בחצי השני של המדגם הקשר שלילי. מה צפוי להיות r הכולל?

קרוב לאפס — הכיוונים ההפוכים מבטלים זה את זה.

גבוה חיובי.

גבוה שלילי.

בלתי ניתן לחישוב.

Explanation:

כאשר שני החלקים מושכים בכיוונים הפוכים, הרבה מהמכפלות \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) מתבטלות אחת עם השנייה. התוצאה: r≈0. חשוב: זה לא אומר שאין קשר — רק שאין קשר קווי אחד.

Question 29

3.33 pts

📊 שאלה 29 — האם r מושפע מיחידות המדידה?
משנים את Y ממטרים לסנטימטרים (כפול 100). מה קורה ל־r?

לא משתנה כלל — שינוי יחידות הוא כפל קבוע.

r גדל.

r קטן.

r הופך לשלילי.

Explanation:

r אינו מעניין אותו באילו יחידות המדידה משתמשים — הוא מנרמל את כל הערכים לפי סטיות התקן. לכן כפל בקבוע לא משנה את r. זו תכונה חשובה ביישומי מדע וחקר נתונים.

Question 30

3.33 pts

📉 שאלה 30 — קשר הפוך בקצוות:
כשה־X קטן — Y גדול. כשה־X בינוני — Y קטן. כשה־X גדול — Y שוב גדול.

איזה r יתקבל?

קרוב לאפס — יש קשר לא קווי בצורת U הפוכה.

גבוה חיובי.

גבוה שלילי.

-1.

Explanation:

זהו קשר בצורת ∩ — מגעיל לפירסון 😅 כי הוא לא עולה ולא יורד בצורה עקבית. המכפלות פעם חיוביות, פעם שליליות → הרבה ביטולים → r≈0. טעות נפוצה: לחשוב ש”יש סיפור יפה בנתונים” → r גבוה. אם הסיפור לא קווי — r לא מבין אותו.