תרגול גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע
תרגול גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול מרחק בין נקודות ואמצע קטע - נוסחאות, חישובים על צירים, זיהוי מגרף וטבלה, מציאת נקודה חסרה. הסברים מפורטים. מרחק בין שתי נקודות (בסיס) מרחק בין שתי נקודות בציר X בלבד מרחק בין שתי נקודות בציר Y בלבד מרחק בין שתי נקודות עם נוסחה זיהוי מרחק מהגרף זיהוי מרחק מתוך טבלה מרחק בין נקודות חיוביות מרחק בין נקודות שליליות מרחק בין נקודות מעורבות מרחק מספרי קל (למשל (1,1) ו־(4,5)) אמצע קטע (בסיס) אמצע קטע בציר X אמצע קטע בציר Y אמצע קטע בשתי נקודות פשוטות תרגיל עם מספרים שליליים זיהוי אמצע קטע בגרף חישוב לפי טבלה זיהוי מתוך ארבע נקודות מי מהן האמצע מהו אמצע קטע "מילולי" מציאת נקודה חסרה (נותנים אמצע ונקודה → למצוא נקודה)
חשב את המרחק בין הנקודות \(A(2, 5)\) ו־\(B(7, 5)\).
כאשר ה־Y של שתי הנקודות זהה, המרחק הוא |x₂ - x₁| = |7 - 2| = 5.
חשב את המרחק בין הנקודות \(A(3, -1)\) ו־\(B(3, 6)\).
כאשר ה־X זהה, המרחק הוא |y₂ - y₁| = |6 - (-1)| = 7.
מה המרחק בין \(A(1,1)\) ו־\(B(4,5)\)?
נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).
מה המרחק בין שתי הנקודות A ו-B בשרטוט?
בשרטוט A=(1,3) ו-B=(7,3) — אותו ערך Y, אז המרחק הוא הפער ב-X בלבד:
\(|7-1| = 6\)
מצא את המרחק בין \(A(2,-3)\) ו־\(B(2,4)\).
המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.
חשב את המרחק בין \(A(-2,1)\) ו־\(B(3,-1)\).
המרחק הוא \(\sqrt{(3+2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\).
מצא את אמצע הקטע המחבר את \(A(2,4)\) ו־\(B(6,4)\).
אמצע קטע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = (4,4)\).
מצא את אמצע הקטע: \(A(3,-2)\), \(B(3,4)\).
אמצע בציר Y: \(\frac{-2+4}{2}=1\).
מצא את אמצע הקטע בין \(A(-4,2)\) ו־\(B(2,-2)\).
אמצע קטע: \(\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (-1,0)\).
מהו אמצע הקטע M לפי השרטוט?
נוסחת אמצע קטע: \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (4, 3)\)
מצא את אמצע הקטע בין \(A(2,6)\) ו־\(B(8,2)\).
אמצע קטע: \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = (5,4)\).
מצא את אמצע הקטע בין \(A(-6,1)\) ו־\(B(-2,5)\).
אמצע: \(\left(\frac{-6+(-2)}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-4,3)\).
מה המרחק בין הנקודות \(A(0,0)\) ו־\(B(3,4)\)?
משולש 3–4–5 קלאסי: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\).
בטבלה מוצגות שתי נקודות במישור:
| נקודה | x | y |
|---|---|---|
| A | 1 | -2 |
| B | 4 | 2 |
מה המרחק בין A ל־B?
נחשב: \(\sqrt{(4-1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
בטבלה:
| נקודה | x | y |
|---|---|---|
| A | 5 | -3 |
| B | 5 | 4 |
מה המרחק בין A ל־B?
כי x זהה → המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.
נתון קטע עם הקצוות \(A(2,2)\) ו־\(B(6,6)\). איזו מן הנקודות הבאות היא אמצע הקטע?
אמצע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (4,4)\).
מה הקשר בין המרחקים מ-\(O(0,0)\) לשתי הנקודות? א: \((3,4)\) ב: \((5,0)\)
מרחק לנקודה א: \(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\)
מרחק לנקודה ב: \(\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25}=5\)
שתי הנקודות באותו מרחק מהראשית.
אמצע הקטע בין הנקודות A ו־B הוא \((3,1)\). ידוע כי \(A(1,3)\). מה קואורדינטות B?
נפתור מתוך נוסחת האמצע: \(\frac{1 + x_B}{2} = 3 \Rightarrow x_B = 5\) \(\frac{3 + y_B}{2} = 1 \Rightarrow y_B = -1\).
מצא את המרחק בין \(A(2,-1)\) ו־\(B(7,3)\).
\(\sqrt{(7-2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}\).
דני הולך מנקודה A לנקודה B. אחרי חצי הדרך הוא נמצא בדיוק באמצע הקטע. אם A היא \((0,0)\) ו־B היא \((4,6)\), מהי נקודת האמצע?
אמצע קטע בין (0,0) ל־(4,6) הוא \(\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2,3)\).
בשרטוט הבא מופיעות שתי נקודות A ו-B. מה המרחק ביניהן?
נוסחת מרחק בין שתי נקודות: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
איזה קטע ארוך יותר?
- קטע 1: A(0,0) ל־B(3,4)
- קטע 2: C(0,0) ל־D(4,3)
המרחק בשני המקרים: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\).
מצא את אמצע הקטע בין \(A\left(\frac{1}{2},2\right)\) ו־\(B\left(\frac{5}{2},6\right)\).
\(\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},4\right) = (1.5,4)\).
מה המרחק בין הנקודות \(A(-5,7)\) ו־\(B(3,7)\)?
ה־Y זהה, לכן המרחק הוא |3 - (-5)| = 8.
מה המרחק בין \(A(1,-4)\) ו־\(B(1,5)\)?
המרחק הוא |5 - (-4)| = 9.
ידוע ש־A היא \((1,2)\) ואמצע הקטע AB הוא \((4,5)\). מה הנקודה B?
\(\frac{1 + x_B}{2} = 4 \Rightarrow x_B = 7\) \(\frac{2 + y_B}{2} = 5 \Rightarrow y_B = 8\).
במשולש ABC ידוע כי \(A(0,0)\) ו־\(B(6,8)\). מה אורך הצלע AB?
אורך הצלע AB הוא פשוט המרחק בין שתי הנקודות: \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\).
האם הנקודה \((1,1)\) יכולה להיות אמצע הקטע בין \(A(0,0)\) ו־\(B(2,2)\)?
אמצע בין (0,0) ל־(2,2) הוא בדיוק (1,1).
בשרטוט, הקטע בין A ל־B הוא אלכסון במערכת צירים. אם \(A(2,1)\) ו־\(B(5,5)\), מה אורכו?
\(\sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5\).
הקטע שמחבר בין \(A(2,2)\) ל־\(B(8,2)\) הוא בסיס של מלבן. מהו אמצע הבסיס?
אמצע בין 2 ו־8 בציר X הוא 5, ה־Y נשאר 2.
נתון משולש ABC כך: \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,3)\). איזה משפט נכון לגבי המשולש?
AB = 4. AC = \(\sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). BC = \(\sqrt{(4-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). לכן AC = BC, אבל AB ≠ AC.
נתון מעגל שמרכזו \((0,0)\) ורדיוסו 5. איזו מן הנקודות הבאות שייכת למעגל?
המרחק מהמרכז חייב להיות 5: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). בשאר הנקודות המרחק שונה.
נתון כי \(P(a,2)\) ו־\(Q(4,6)\). המרחק ביניהם הוא 5. מה הערך האפשרי של a?
נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-a)^2 + (6-2)^2} = 5 \Rightarrow (4-a)^2 + 16 = 25 \Rightarrow (4-a)^2 = 9\). מכאן 4 - a = ±3 → a = 1 או a = 7.
אמצע הקטע בין \(A(2,4)\) ו־\(B(x,8)\) הוא \((5,6)\). מהו x?
\(\frac{2+x}{2} = 5 \Rightarrow 2 + x = 10 \Rightarrow x = 8\). ה־Y מסתדר אוטומטית: \(\frac{4+8}{2} = 6\).
הנקודות \(A(1,2)\), \(B(3,4)\), \(C(5,6)\) נתונות. האם הן נמצאות על אותו ישר?
שיפוע AB: \(\frac{4-2}{3-1} = 1\). שיפוע BC: \(\frac{6-4}{5-3} = 1\). כאשר השיפוע זהה והקטעים ממשיכים באותו כיוון – הנקודות על אותו ישר.
במשולש ABC: \(A(0,0)\), \(B(2,4)\), \(C(k,0)\). עבור אילו ערכים של k המשולש יהיה שווה שוקיים כך ש־AC = BC?
AC = |k-0| = |k| (כי y=0). BC = \(\sqrt{(k-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(k-2)^2 + 16}\). נדרוש: \(|k|^2 = (k-2)^2 + 16\). נקבל: \(k^2 = k^2 -4k +4 + 16 \Rightarrow -4k +20 = 0 \Rightarrow k = 5\). (כאן אפשר לשנות את המספרים אם תרצי פתרון "נחמד" יותר – כרגע זה מדגים עבודה אלגברית.)
נתון כי \(A(1,2)\). מצא נקודה B על ציר ה-X כך שהמרחק AB יהיה 5.
אם B על ציר X אז y_B = 0. נדרוש: \(\sqrt{(x_B-1)^2 + (0-2)^2} = 5 \Rightarrow (x_B-1)^2 + 4 = 25 \Rightarrow (x_B-1)^2 = 21\). מקבלים פתרון עם שורש 21, אם רוצים נקודות "יפות" אפשר להציב קואורדינטות אחרות ולשנות את הנוסח.
במעוין, אחד הקטבים שלו מתואר כקטע בין \(A(-2,1)\) ו־\(C(4,5)\). מה קואורדינטות מרכז המעוין?
מרכז מעוין הוא אמצע האלכסון: \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (1,3)\).
על ציר ה-X נמצא קטע מ־(0,0) עד (10,0). איזו מן הנקודות על הקטע תהיה הקרובה ביותר לנקודה \((5,4)\)?
הנקודה שמעליה "יורדים אנכית" כלפי ציר ה-X היא זו שמקצרת את הדרך: (5,0).
נתונות הנקודות \(A(1,1)\) ו־\(B(7,5)\). מצא את המרחק AB ואת אמצע הקטע AB.
מרחק: \(\sqrt{(7-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}\). אמצע: \(\left(\frac{1+7}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)\).