תרגול גאומטריה משפטים - טרפז ודלתון
תרגול גאומטריה משפטים - טרפז ודלתון. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא גאומטריה משפטים - טרפז ודלתון. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול גאומטריה טרפז ודלתון - הגדרות, טרפז שווה-שוקיים, קטע אמצע, דלתון ואלכסוניו. תכונות ומשפטים.
הגדרת טרפז (זוג צלעות מקבילות) טרפז שווה שוקיים זוויות בסיס שוות (טרפז ש"ש) אלכסונים שווים (טרפז ש"ש) קטע אמצע = ממוצע בסיסים טרפז ישר זווית דלתון (צלעות סמוכות שוות) אלכסונים ניצבים (דלתון) זוויות בדלתון קשרים (מעוין⊂דלתון, מקבילית⊂טרפז)
▱ הגדרה:
טרפז הוא מרובע שבו:
טרפז = מרובע שיש בו זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות
AB ∥ CD (בסיסים)
BC לא מקביל ל-AD (שוקיים)
זו ההגדרה הבסיסית! ✓
• הצלעות המקבילות: בסיסים
• הצלעות שאינן מקבילות: שוקיים
▱ טרפז מיוחד:
טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שבו:
טרפז שווה שוקיים = טרפז ששני השוקיים שווים באורכם
BC = AD ✓
זה מקרה מיוחד של טרפז!
∠ תכונה:
בטרפז שווה שוקיים, זוויות הבסיס הן:
בטרפז שווה שוקיים:
• זוויות על אותו בסיס שוות!
∠A = ∠B (על הבסיס העליון)
∠D = ∠C (על הבסיס התחתון) ✓
בגלל חפיפת המשולשים שנוצרים כשמורידים גובה משני הקצוות! ✓
✖️ אלכסונים:
בטרפז שווה שוקיים, האלכסונים הם:
בטרפז שווה שוקיים, האלכסונים שווים באורכם!
AC = BD ✓
זו תכונה מיוחדת!
האלכסונים לא בהכרח:
• חוצים זה את זה ✗
• ניצבים זה לזה ✗
רק שווים! ✓
📏 קטע אמצע:
קטע המחבר נקודות אמצע של שוקי הטרפז:
קטע המחבר נקודות אמצע של שוקי הטרפז:
1. מקביל לבסיסים ✓
2. אורכו = ממוצע הבסיסים ✓
MN = (AB + CD) / 2
אם AB = 10 ס"מ ו-CD = 18 ס"מ
אז MN = (10 + 18) / 2 = 14 ס"מ ✓
🔢 חישוב:
בטרפז שווה שוקיים, אם זווית על הבסיס העליון היא 70°, הזווית על הבסיס התחתון היא:
טרפז שווה שוקיים
∠A = 70° (על הבסיס העליון)
פתרון:
זוויות על אותו שוק משלימות ל-180°:
∠A + ∠D = 180° (על השוק AD)
70° + ∠D = 180°
∠D = 110° ✓
🔢 חישוב:
בטרפז, הבסיסים הם 12 ס"מ ו-20 ס"מ. קטע אמצע השוקיים אורכו:
בסיס 1 = 12 ס"מ
בסיס 2 = 20 ס"מ
פתרון:
קטע אמצע = ממוצע הבסיסים
MN = (12 + 20) / 2
MN = 32 / 2
MN = 16 ס"מ ✓
◆ דלתון:
דלתון הוא מרובע שבו:
דלתון = מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
AB = AD
CB = CD ✓
זו צורה מיוחדת!
✖️ אלכסונים בדלתון:
אלכסוני דלתון הם:
בדלתון, האלכסונים ניצבים זה לזה!
AC ⊥ BD ✓
זו תכונה ייחודית לדלתון!
אחד האלכסונים (הארוך יותר) חוצה את השני!
אבל לא בהכרח שניהם חוצים ✓
∠ זוויות בדלתון:
בדלתון, הזוויות בין הצלעות הלא-שוות הן:
בדלתון, הזוויות בין הצלעות הלא-שוות שוות!
∠B = ∠D ✓
(הזוויות בקצוות הציר של הסימטריה)
▱ טרפז ישר זווית:
טרפז ישר זווית הוא טרפז שבו:
טרפז ישר זווית = טרפז שאחד השוקיים ניצב לבסיסים
AD ⊥ AB וגם AD ⊥ CD
∠A = ∠D = 90° ✓
🔍 זיהוי:
טרפז שהאלכסונים בו שווים הוא:
אם בטרפז האלכסונים שווים,
אז הטרפז הוא שווה שוקיים! ✓
AC = BD ⇒ BC = AD
זו דרך לזהות!
◆ קשר:
מעוין הוא:
מעוין = מקרה מיוחד של דלתון!
בדלתון: שני זוגות צלעות סמוכות שוות
במעוין: כל הצלעות שוות
מעוין ⊂ דלתון ✓
במעוין:
AB = BC = CD = DA
זה אומר גם:
AB = AD (זוג אחד)
CB = CD (זוג שני)
זה עונה להגדרת דלתון! ✓
🔢 חישוב:
בטרפז, קטע האמצע 15 ס"מ והבסיס הקטן 12 ס"מ. הבסיס הגדול הוא:
קטע אמצע MN = 15 ס"מ
בסיס קטן AB = 12 ס"מ
בסיס גדול CD = ?
פתרון:
MN = (AB + CD) / 2
15 = (12 + CD) / 2
30 = 12 + CD
CD = 18 ס"מ ✓
∠ זוויות:
סכום הזוויות בטרפז הוא:
סכום הזוויות בכל מרובע הוא 360°!
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° ✓
זה נכון גם לטרפז!
אפשר לחלק כל מרובע לשני משולשים
2 × 180° = 360° ✓
🔍 זיהוי:
מרובע שהאלכסונים בו ניצבים והאחד חוצה את השני הוא:
אם במרובע:
• האלכסונים ניצבים ✓
• אחד מהם חוצה את השני ✓
אז המרובע הוא דלתון!
זו דרך לזהות דלתון!
🔢 חישוב:
בדלתון ABCD, אם ∠A=80° ו-∠B=120°, אז ∠D שווה:
∠A = 80°
∠B = 120°
∠D = ?
פתרון:
בדלתון: ∠B = ∠D (זוויות שוות)
∠D = 120° ✓
פשוט!
🔢 חישוב:
בטרפז שווה שוקיים, הבסיסים 10 ו-16 ס"מ והשוק 5 ס"מ. ההיקף הוא:
טרפז שווה שוקיים
בסיס 1: AB = 10 ס"מ
בסיס 2: CD = 16 ס"מ
שוק: BC = AD = 5 ס"מ (שווים!)
פתרון:
היקף = 10 + 5 + 16 + 5
היקף = 36 ס"מ ✓
📊 קשר:
מקבילית היא:
מקבילית = מקרה מיוחד של טרפז!
טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות
מקבילית: שני זוגות של צלעות מקבילות
מקבילית ⊂ טרפז ✓
במקבילית יש גם זוג אחד של צלעות מקבילות (ועוד זוג!)
לכן כל מקבילית היא גם טרפז ✓
📚 סיכום:
איזו תכונה לא נכונה?
"בטרפז, השוקיים תמיד שווים"
זה לא נכון! ✗
רק בטרפז שווה שוקיים השוקיים שווים
בטרפז רגיל, השוקיים יכולים להיות שונים! ⚠️
✓ בטרפז שווה שוקיים: אלכסונים שווים
✓ בטרפז שווה שוקיים: זוויות על אותו בסיס שוות
✓ קטע אמצע = ממוצע הבסיסים
✓ בדלתון: אלכסונים ניצבים
✓ בדלתון: זוויות בין צלעות לא-שוות שוות