תרגול אינדוקציה מתמטית - תרגול אינטראקטיבי

תרגול אינדוקציה מתמטית - תרגול אינטראקטיבי. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא אינדוקציה מתמטית. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.

תרגול תרגול מקיף באינדוקציה מתמטית. כולל: הבנת בסיס האינדוקציה, זיהוי הנחה ומטרה, האיבר הנוסף במעבר, ושאלות מושגיות. מתאים לתלמידי תיכון ומכינות.

15 questions

Question 1

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - הבנה מושגית:

מה מטרת בדיקת הטענה עבור n=1?

לוודא שלטענה יש נקודת התחלה תקפה

לבדוק אם הנוסחה נכונה במקרה פרטי

להוכיח שהטענה נכונה לכל n

לפשט את הביטוי

Explanation:

🔗 הסבר:

בסיס האינדוקציה אינו רק "בדיקה טכנית".

הוא מוודא שלטענה יש נקודת התחלה תקפה - מקום שממנו השרשרת הלוגית יכולה להתחיל.

בלי בסיס תקף, צעד האינדוקציה לא שווה כלום.

Question 2

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - הבנה מושגית:

בצעד האינדוקציה מניחים ש-P(k) נכונה. מה המשמעות?

מותר להשתמש בה כעובדה

צריך להוכיח אותה מחדש

היא נכונה רק לדוגמה

היא לא חשובה

Explanation:

🔗 הסבר:

בצעד האינדוקציה, מניחים שהטענה נכונה עבור k.

זו הנחה שמותר להשתמש בה כעובדה - אין צורך להוכיח אותה שוב!

המטרה היא להראות שאם היא נכונה עבור k, אז היא נכונה גם עבור k+1.

Question 3

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - הבנה מושגית:

generator.induction.cq_4

generator.induction.ca_4

To test more cases

The base is just an example; the step is the real proof

Only the step is needed; the base is a bonus

Explanation:

🔗 הסבר:

בסיס + צעד = שרשרת אינסופית

• הבסיס נותן נקודת התחלה (n=1 נכון)
• הצעד אומר: אם k נכון → k+1 נכון

יחד: n=1 → n=2 → n=3 → ... לכל n טבעי!

Question 4

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס:

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

כאשר מציבים \(n=1\), מהו ערך צד ימין?

Explanation:

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס

📌 שלב 1: הנוסחה שצריך להוכיח

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

📌 שלב 2: מציבים n = 1

צד שמאל: \(1 + 2 + \cdots + 1 = 1\)

צד ימין: \(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)

📌 שלב 3: השוואה

צד שמאל = \(1\) = צד ימין = \(1\)

שני הצדדים שווים ✓

התשובה: (צד ימין):

\(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)

זהו בסיס האינדוקציה — נקודת ההתחלה של השרשרת הלוגית.

Question 5

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס:

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

כאשר מציבים \(n=1\), מהו ערך צד שמאל?

Explanation:

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס

📌 שלב 1: הנוסחה שצריך להוכיח

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

📌 שלב 2: מציבים n = 1

צד שמאל: \(1 + 2 + \cdots + 1 = 1\)

צד ימין: \(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)

📌 שלב 3: השוואה

צד שמאל = \(1\) = צד ימין = \(1\)

שני הצדדים שווים ✓

התשובה: (צד שמאל):

\(1 + 2 + \cdots + 1 = 1\)

זהו בסיס האינדוקציה — נקודת ההתחלה של השרשרת הלוגית.

Question 6

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס:

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

כאשר מציבים \(n=1\), מהו ערך צד שמאל?

Explanation:

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס

📌 שלב 1: הנוסחה שצריך להוכיח

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

📌 שלב 2: מציבים n = 1

צד שמאל: \(1 + 2 + \cdots + 1 = 1\)

צד ימין: \(\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\)

📌 שלב 3: השוואה

צד שמאל = \(1\) = צד ימין = \(1\)

שני הצדדים שווים ✓

התשובה: (צד שמאל):

\(1 + 2 + \cdots + 1 = 1\)

זהו בסיס האינדוקציה — נקודת ההתחלה של השרשרת הלוגית.

Question 7

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס:

נתונה הטענה:

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

כאשר מציבים \(n=1\), מהו ערך צד ימין?

Explanation:

🔗 אינדוקציה - בדיקת בסיס

📌 שלב 1: הנוסחה שצריך להוכיח

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

📌 שלב 2: מציבים n = 1

צד שמאל: \(1^2 + 2^2 + \cdots + 1^2 = 1\)

צד ימין: \(\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1\)

📌 שלב 3: השוואה

צד שמאל = \(1\) = צד ימין = \(1\)

שני הצדדים שווים ✓

התשובה: (צד ימין):

\(\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1\)

זהו בסיס האינדוקציה — נקודת ההתחלה של השרשרת הלוגית.

Question 8

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - זיהוי ההנחה P(k):

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

מהי ההנחה שמניחים בצעד האינדוקציה?

\(1+2+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}\)

\(1+2+\cdots+k+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

k = k+1

Explanation:

🔗 {title}

{explanation}

" + BLL.LocalizationService.T("generator.ui.answer_label", lang) + @"
\({correctAnswer}\)

Question 9

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - זיהוי ההנחה P(k):

נתונה הטענה:

\(1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2\)

מהי ההנחה שמניחים בצעד האינדוקציה?

\(1+3+5+\cdots+(2k-1) = k^2\)

\(1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1) = (k+1)^2\)

\(1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2\)

k = k+1

Explanation:

🔗 {title}

{explanation}

" + BLL.LocalizationService.T("generator.ui.answer_label", lang) + @"
\({correctAnswer}\)

Question 10

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - זיהוי המטרה P(k+1):

נתונה הטענה:

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

מהי המטרה שצריך להוכיח בצעד האינדוקציה?

\(1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

\(1^2+2^2+\cdots+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

k = k+1

Explanation:

🔗 {title}

{explanation}

" + BLL.LocalizationService.T("generator.ui.answer_label", lang) + @"
\({correctAnswer}\)

Question 11

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - זיהוי ההנחה P(k):

נתונה הטענה:

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

מהי ההנחה שמניחים בצעד האינדוקציה?

\(1^2+2^2+\cdots+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

\(1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

\(1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

k = k+1

Explanation:

🔗 {title}

{explanation}

" + BLL.LocalizationService.T("generator.ui.answer_label", lang) + @"
\({correctAnswer}\)

Question 12

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - האיבר הנוסף:

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

כאשר עוברים מ-\(n=k\) ל-\(n=k+1\), מה מתווסף לצד שמאל?

\(?_1\)

Explanation:

🔗 " + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.added_term_principle", lang, termPattern) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @":
\({correctAnswer}\)

Question 13

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - האיבר הנוסף:

נתונה הטענה:

\(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

כאשר עוברים מ-\(n=k\) ל-\(n=k+1\), מה מתווסף לצד שמאל?

\(?_1\)

Explanation:

🔗 " + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.added_term_principle", lang, termPattern) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @":
\({correctAnswer}\)

Question 14

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - האיבר הנוסף:

נתונה הטענה:

\(1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2\)

כאשר עוברים מ-\(n=k\) ל-\(n=k+1\), מה מתווסף לצד שמאל?

2(k+1)-1 = 2k+1

2k-1

k+1

Explanation:

🔗 " + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.added_term_principle", lang, termPattern) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @":
\({correctAnswer}\)

Question 15

6.67 pts

🔗 אינדוקציה - האיבר הנוסף:

נתונה הטענה:

\(1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2\)

כאשר עוברים מ-\(n=k\) ל-\(n=k+1\), מה מתווסף לצד שמאל?

2(k+1)-1 = 2k+1

2k-1

k+1

Explanation:

🔗 " + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.added_term_principle", lang, termPattern) + @"

" + BLL.LocalizationService.T("generator.induction.title_added_term", lang) + @":
\({correctAnswer}\)