תרגול נגזרת של פונקציית פולינום
תרגול נגזרת של פונקציית פולינום. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא נגזרת של פונקציית פולינום. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול נגזרת פונקציית פולינום - כללי גזירה בסיסיים, נגזרת של x^n, סכום והפרש. תרגול מקיף עם הסברים.
נתונה הפונקציה הפולינומית \(f(x) = 3x^2 + 5x - 7\).
מהי הנגזרת \(f'(x)\)?
נוסחה כללית:
לכל קבועים \(a, b, c\):
\(f(x) = ax^2 + bx + c \Rightarrow f'(x) = 2ax + b\).
כאן \(a = 3\) ולכן \(2a = 6\), ו-\(b = 5\).
נחשב:
\(f'(x) = 2 \cdot 3x + 5 = 6x + 5\).
שימי לב: האיבר הקבוע \(-7\) נעלם, כי נגזרת של קבוע היא 0.
מהי הנגזרת של הפונקציה \(f(x) = 4x^3\)?
נוסחת חזקת חזקות:
לכל קבוע \(a\) ומספר טבעי \(n\):
\(\frac{d}{dx}(ax^n) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
כאן \(a = 4\), \(n = 3\) ולכן:
\(f'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 12x^2\).
טעות נפוצה: להשאיר את החזקה 3 (ולקבל \(12x^3\)) במקום להוריד אותה ב-1.
נתונה הפונקציה \(f(x) = -2x^2 + 8\).
מהי הנגזרת \(f'(x)\)?
נשתמש שוב בכלל \(ax^n \rightarrow a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
עבור \(-2x^2\):
\(\frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x^{1} = -4x\).
עבור הקבוע \(8\) הנגזרת היא 0.
לכן \(f'(x) = -4x\) בלבד.
גזרי את הפונקציה הפולינומית
\(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + x - 1\).
נגזור כל איבר בנפרד לפי כלל החזקות והסכום:
- \(\frac{d}{dx}(5x^4) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\)
- \(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2x = -6x\)
- \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)
- \(\frac{d}{dx}(-1) = 0\)
\(f'(x) = 20x^3 - 6x + 1\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\)?
נגזור כל איבר:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x\)
\(\frac{d}{dx}(3x) = 3\)
לכן:
\(f'(x) = x + 3\).
האופציה \(x^2 + 3\) שגויה כי שכחו להוריד את החזקה מ-2 ל-1.
נגזרת הפונקציה \(f(x) = 7x^3 - x\) היא:
\(\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2\).
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).
סיכום:
\(f'(x) = 21x^2 - 1\).
מהי הנגזרת של הפונקציה \(f(x) = x^5\)?
שוב כלל החזקות:
\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{4}\).
אין כאן מקדם חיצוני, ולכן רק החזקה יורדת כפול המקדמים (שזה בעצם 1).
נתונה הפונקציה
\(f(x) = -3x^4 + 2x^3 - x + 9\).
מצאי את הנגזרת.
נגזור איבר-איבר:
- \(\frac{d}{dx}(-3x^4) = -3 \cdot 4x^3 = -12x^3\)
- \(\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(-x) = -1\)
- \(\frac{d}{dx}(9) = 0\)
\(f'(x) = -12x^3 + 6x^2 - 1\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = \frac{2}{3}x^3\)?
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3\right) = \frac{2}{3} \cdot 3x^{2} = 2x^2\).
המספר 3 במונה והמכנה מצטמצם, ולכן נשאר רק 2 כמקדמה.
נתונה הפונקציה \(f(x) = 6x^2 + 4x + 10\).
מהי הנגזרת?
נגזור:
\(\frac{d}{dx}(6x^2) = 12x\),
\(\frac{d}{dx}(4x) = 4\),
\(\frac{d}{dx}(10) = 0\).
לכן: \(f'(x) = 12x + 4\).
גזרי את הפונקציה \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x\).
- \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(-5x^2) = -10x\)
- \(\frac{d}{dx}(4x) = 4\)
\(f'(x) = 3x^2 - 10x + 4\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = -x^3 + 3x\)?
\(\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2\),
\(\frac{d}{dx}(3x) = 3\).
לכן \(f'(x) = -3x^2 + 3\).
נתונה הפונקציה \(f(x) = 2x^4 + x^2\).
מצאי את \(f'(x)\).
נגזור:
\(\frac{d}{dx}(2x^4) = 8x^3\),
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
לכן \(f'(x) = 8x^3 + 2x\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x\)?
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) = \frac{1}{4}\cdot 4x^3 = x^3\).
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).
לכן: \(f'(x) = x^3 - 1\).
נגזרת הפונקציה \(f(x) = 9x - 7\) היא:
נגזרת של פונקציה לינארית \(ax + b\) היא תמיד \(a\).
כאן \(a = 9\), לכן \(f'(x) = 9\) לכל \(x\).
האיבר הקבוע \(-7\) נעלם.
מהי הנגזרת של \(f(x) = 5 - 2x\)?
\(\frac{d}{dx}(5) = 0\),
\(\frac{d}{dx}(-2x) = -2\).
לכן \(f'(x) = -2\).
גזרי את הפונקציה \(f(x) = x^6\).
כלל החזקות:
\(\frac{d}{dx}(x^6) = 6x^{5}\).
שימי לב: החזקה יורדת ב-1, לא נשארת 6.
נתונה הפונקציה
\(f(x) = 3x^5 - x^3 + 2x\).
מהי הנגזרת?
- \(\frac{d}{dx}(3x^5) = 15x^4\)
- \(\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(2x) = 2\)
מהי הנגזרת של \(f(x) = -4x^3 - 6x\)?
\(\frac{d}{dx}(-4x^3) = -12x^2\),
\(\frac{d}{dx}(-6x) = -6\).
לכן \(f'(x) = -12x^2 - 6\).
נתונה הפונקציה \(f(x) = 0.5x^2 - 4x + 1\).
מהי הנגזרת?
\(\frac{d}{dx}(0.5x^2) = 0.5 \cdot 2x = x\),
\(\frac{d}{dx}(-4x) = -4\),
הקבוע 1 נעלם.
לכן \(f'(x) = x - 4\).
גזרי את הפונקציה \(f(x) = x^4 - 4x^2\).
\(\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3\),
\(\frac{d}{dx}(-4x^2) = -8x\).
מכאן: \(f'(x) = 4x^3 - 8x\).
נתונה הפונקציה
\(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 5\).
מהי הנגזרת?
- \(\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2\)
- \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\)
- \(\frac{d}{dx}(-x) = -1\)
- \(\frac{d}{dx}(5) = 0\)
\(f'(x) = 6x^2 + 6x - 1\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = -x^4 + 4x\)?
\(\frac{d}{dx}(-x^4) = -4x^3\),
\(\frac{d}{dx}(4x) = 4\).
לכן: \(f'(x) = -4x^3 + 4\).
נתונה פונקציה פולינומית:
\(f(x) = 7x^2 + \frac{1}{3}x^3\).
מהי הנגזרת?
\(\frac{d}{dx}(7x^2) = 14x\).
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) = \frac{1}{3}\cdot 3x^2 = x^2\).
חיבור האיברים:
\(f'(x) = x^2 + 14x\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = \frac{5}{2}x^2\)?
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{5}{2}x^2\right) = \frac{5}{2}\cdot 2x = 5x\).
שימי לב שה-2 במונה ובמכנה מצטמצמת.
נתונה הפונקציה \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x^3\).
מהי הנגזרת?
נגזור כל איבר:
\(\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^2\right) = -\frac{1}{2}\cdot 2x = -x\),
\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).
לכן \(f'(x) = 3x^2 - x\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = 4x^4 - 8x + 3\)?
\(\frac{d}{dx}(4x^4) = 16x^3\),
\(\frac{d}{dx}(-8x) = -8\),
\(\frac{d}{dx}(3) = 0\).
לכן \(f'(x) = 16x^3 - 8\).
נתונה הפונקציה \(f(x) = x^3 + 6\).
מהי הנגזרת?
\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\),
\(\frac{d}{dx}(6) = 0\).
מכאן \(f'(x) = 3x^2\).
מהי הנגזרת של \(f(x) = 10x^2 - x\)?
\(\frac{d}{dx}(10x^2) = 20x\),
\(\frac{d}{dx}(-x) = -1\).
לכן \(f'(x) = 20x - 1\).
נתונה הפונקציה \(f(x) = -2x^5 + x^2\).
מצאי את הנגזרת.
\(\frac{d}{dx}(-2x^5) = -2 \cdot 5x^4 = -10x^4\),
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\).
לכן \(f'(x) = -10x^4 + 2x\).