תרגול גאומטריה אנליטית קו ישר -בסיס 2 חלק א' מרחק בין נקודות וסוגי משולשים

לפי הנוסחה: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

משולש ישר זוית עם צלעות 3 ו-4, לכן \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
זהו משולש מצרי קלאסי! 3-4-5

\(d = \sqrt{(2-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5\)
הנקודות על אותו x, לכן המרחק הוא ההפרש ב-y: |8-3| = 5

\(d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(d = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

\(d = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

\(d = \sqrt{(3-(-2))^2 + (-7-5)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
משולש 5-12-13!

\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(d = \sqrt{(2-6)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

\(d = \sqrt{(0-(-3))^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
משולש 3-4-5!

לפי הנוסחה: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

משולש ישר זוית עם צלעות 3 ו-4, לכן \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
זהו משולש מצרי קלאסי! 3-4-5

\(d = \sqrt{(2-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5\)
הנקודות על אותו x, לכן המרחק הוא ההפרש ב-y: |8-3| = 5

\(d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(d = \sqrt{(1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

\(d = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

\(d = \sqrt{(3-(-2))^2 + (-7-5)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
משולש 5-12-13!

\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(d = \sqrt{(2-6)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

\(d = \sqrt{(0-(-3))^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
משולש 3-4-5!

במשולש יש 3 קודקודים, ומכל קודקוד יוצא תיכון אחד לצלע שממולו. סך הכל 3 תיכונים.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנקראת מרכז הכובד (Centroid). מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1.

שלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת הנקראת האורתוצנטר (Orthocenter).

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים במרכז המעגל החוסם את המשולש.

קטע אמצעים תמיד מקביל לצלע השלישית (זו שלא נוגע בה) ואורכו מחצית מאורכה.

משפט קטע האמצעים: קטע המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

אמצע AB הוא ממוצע הקואורדינטות: ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0)

מרכז הכובד מחלק כל תיכון כך שהחלק מהקודקוד למרכז הכובד הוא פי 2 מהחלק ממרכז הכובד לאמצע הצלע.

במשולש ישר זווית, שתי הצלעות היוצרות את הזווית הישרה הן גבהים. הן נפגשות בקודקוד הזווית הישרה.

אורך AC הוא 4 (ישר אופקי). קטע אמצעים שווה למחצית = 2

תיכון תמיד בתוך המשולש. גובה ואנך אמצעי יכולים לצאת מחוץ למשולש במשולש קהה.

מרכז הכובד הוא ממוצע כל הקואורדינטות: ((1+5+3)/3, (1+1+5)/3) = (3, 2.33 בקירוב)

משפט קטע האמצעים קובע שהוא תמיד מחצית מהצלע המקבילה, ללא קשר לסוג המשולש.

במשולש שווה צלעות (ושווה שוקיים), התיכון לבסיס הוא גם גובה, חוצה זווית ואנך אמצעי!

אמצע AB הוא (4,0). מרחק מ-C(4,6) ל-(4,0) הוא |6-0| = 6

שטח משולש: \(S = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 6}{2} = 30\) סמ מרובע

שטח: \(S = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20\) מ"ר

מהנוסחה: \(24 = \frac{8 \cdot h}{2}\)
\(24 = 4h\) כלומר \(h = 6\) סמ

שטח: \(S = \frac{12 \cdot 7}{2} = 42\) סמ מרובע

מהנוסחה: \(30 = \frac{b \cdot 5}{2}\)
\(60 = 5b\) כלומר \(b = 12\) סמ

במשולש ישר זווית הניצבים הם הבסיס והגובה:
\(S = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\) סמ מרובע

שטח: \(S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\) סמ מרובע

משפט פיתגורס: \(c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) מטר
משולש מצרי: 5, 12, 13

מהנוסחה: \(20 = \frac{5 \cdot b}{2}\)
\(40 = 5b\) כלומר \(b = 8\) סמ

יתר: \(c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = 25\)
שטח: \(S = \frac{7 \cdot 24}{2} = 84\) סמ מרובע

במשולש שווה שוקיים, התיכון מהקודקוד לבסיס הוא גם: גובה (ניצב לבסיס), חוצה זווית (מחלק את זווית הראש) ואנך אמצעי לבסיס!

הגובה מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים (3 סמ כל אחד).
לפי פיתגורס: \(h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\) סמ

שטח: \(S = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12\) סמ מרובע

במשולש שווה שוקיים, הזוויות שליד הבסיס תמיד שוות זו לזו.

הגובה מחלק את הבסיס ל-6 סמ מכל צד.
לפי פיתגורס: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\) סמ
משולש 6-8-10!