תרגול משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית) 2
תרגול משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית) 2. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא משפט דמיון ז.ז. (זווית-זווית) 2. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול דמיון ז.ז. חלק 2 - תרגול מתקדם במשפט דמיון זווית-זווית. בעיות מורכבות ויישומים עם פתרונות.
📐 משפט הדמיון ז.ז.:
שני משולשים דומים אם מתקיים בהם:
שלב 1 – מה אומר המשפט?
במשולש יש תמיד סכום זוויות 180°. אם בשני משולשים יש שתי זוויות מתאימות שוות, אז:
- הזווית השלישית בכל משולש נקבעת מאליה (180° פחות סכום שתי הזוויות).
- לכן גם הזווית השלישית תהיה שווה.
- מקבלים שלושת הזוויות בכל משולש שוות → זהו המצב הקלאסי של משולשים דומים.
היופי במשפט ז.ז. הוא שלא צריך למדוד שום צלע כדי להוכיח דמיון – מספיקות שתי זוויות מתאימות שוות.
לכן התשובה הנכונה היא: שתי זוויות מתאימות שוות.
בציור שלפניך מסומנים שני משולשים. ידוע ש-∠A = ∠A' וגם ∠B = ∠B'.
מה נוכל להסיק על שני המשולשים?
ניתוח:
- יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות: בזוג הקודקודים A ו-A' ובזוג הקודקודים B ו-B'.
- לפי משפט הדמיון ז.ז., די בכך כדי לקבוע שהמשולשים דומים.
- אין לנו מידע על אורכי הצלעות, ולכן לא ניתן לקבוע חפיפה, רק דמיון.
לכן המסקנה הנכונה היא: המשולשים דומים לפי ז.ז.
במשולשים ABC ו-A'B'C' מתקיים:
∠A = ∠A' = 40°
∠B = ∠B' = 70°
האם המשולשים דומים לפי ז.ז.?
כבר יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות (40° ו-70°).
לא צריך למדוד צלעות ולא צריך לדעת את הזווית השלישית – היא נובעת אוטומטית:
- בכל משולש: הזווית השלישית = 180° − (40° + 70°) = 70°.
- כלומר גם הזווית השלישית שווה.
לפי משפט ז.ז. – די בשתי זוויות מתאימות שוות כדי להסיק שהמשולשים דומים.
באיזה מן המקרים הבאים אי אפשר להסיק דמיון לפי ז.ז.?
משפט ז.ז. דורש שתי זוויות מתאימות שוות. אם יש לנו רק זווית אחת משותפת:
- אין מספיק מידע על שאר הזוויות.
- ייתכנו אינסוף משולשים שונים בעלי אותה זווית אחת.
לכן במקרה שבו ידועה רק זווית אחת – אי אפשר להסיק דמיון לפי ז.ז.
במשולש אחד הזוויות הן 30°, 60°, 90°.
במשולש שני ידוע ש-∠A' = 30° ו-∠B' = 60°.
מה נוכל להסיק?
במשולש הראשון הזוויות: 30°, 60°, 90°.
במשולש השני נתון ששתי זוויות שוות בדיוק: 30°, 60°.
מספיקות שתי זוויות מתאימות שוות כדי להסיק שהמשולשים דומים לפי ז.ז., ולא צריך לבדוק את הזווית השלישית או את הצלעות.
במשולש הגדול ABC, הישר דרך הנקודה D על הצלע AC מקביל לצלע BC וחותך את AB בנקודה E.
נסתכל על המשולשים ADE ו-ABC.
מדוע המשולשים ADE ו-ABC דומים לפי ז.ז.?
קשרים בין זוויות מקבילות:
- DE ∥ BC.
- ∠A משותפת לשני המשולשים.
- ∠ADE שווה ל-∠ACB (זוויות מתאימות בין מקבילים).
- ∠AED שווה ל-∠ABC (גם זוויות מתאימות).
ברגע שיש לנו שתי זוויות מתאימות שוות – מתקיים משפט הדמיון ז.ז., ולכן המשולשים ADE ו-ABC דומים.
תלמיד אמר: "אם יש שתי זוויות שוות במשולשים – זה אומר שהמשולשים חופפים".
כיצד תתקן אותו?
חשוב להבחין בין דמיון לבין חפיפה:
- חפיפה = משולשים זהים בגודל ובצורה (כל הצלעות שוות).
- דמיון = אותה צורה, אבל לא בהכרח אותו גודל (הצלעות ביחס קבוע).
משפט ז.ז. מדבר על דמיון בלבד – שתי זוויות מתאימות שוות לא אומרות כלום על אורכי הצלעות, ולכן לא מבטיחות חפיפה.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 2:5.
במשולש הקטן אחת הצלעות היא 10 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשולש הגדול?
יחס קטן:גדול = 2:5. כדי לעבור מ-2 ל-5 נכפיל ב-2.5.
10 ÷ 2 = 5 → 5 × 5 = 25.
לכן הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 25 ס"מ.
במשולש אחד ידועות שתי זוויות: 50° ו-60°.
במשולש שני ידועות שתי זוויות: 50° ו-60° גם כן.
כמה תהיה הזווית השלישית בכל משולש, ומה זה אומר על המשולשים?
הזווית השלישית בכל משולש: 180° − (50° + 60°) = 70°.
כלומר כל שלוש הזוויות בשני המשולשים זהות, ולכן בוודאי שהם דומים, ומספיק היה לנו כבר ממשפט ז.ז. (שתי זוויות מתאימות שוות).
בציור שני משולשים ישרי זווית: ∠C = 90° ו-∠C' = 90°. בנוסף ∠A = ∠A'.
מה ניתן להסיק?
יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות:
- זווית ישרה C = 90° ו-C' = 90°.
- זווית A שווה לזווית A' (נתון).
בדיוק התנאי של משפט הדמיון ז.ז. → המשולשים דומים.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 3:5.
במשולש הגדול הצלע המתאימה היא 25 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?
יחס קטן:גדול = 3:5. כדי לעבור מהגדול לקטן:
- 25 ÷ 5 = 5
- 3 × 5 = 15
לכן אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא 15 ס"מ.
במשולשים ABC ו-A'B'C' ידוע:
∠A = ∠A'
∠B = ∠B'
איזו מהקביעות הבאות נכונה?
ברגע שיש לנו שתי זוויות מתאימות שוות בין שני משולשים – משפט הדמיון ז.ז. כבר מתקיים.
הזווית השלישית גם תהיה שווה, אבל לא צריך לחשב אותה בכלל כדי להסיק דמיון.
תלמיד אומר: "אם שתי הזוויות במשולש אחד קטנות יותר מהזוויות במשולש השני – אז המשולשים דומים".
כיצד תסביר מדוע זה לא נכון?
משפט ז.ז. דורש זוויות שוות ולא "דומות" או "גדולות/קטנות יותר".
שני משולשים יכולים להיות כך שכל הזוויות באחד קטנות יותר, אבל הצורה שונה לגמרי.
לכן תנאי לדמיון הוא: שוויון של שתי זוויות מתאימות, לא רק השוואת גודל באופן כללי.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 1:4.
שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר.
מה שטח המשולש הגדול?
בדמיון: יחס השטחים = ריבוע יחס הצלעות.
יחס צלעות קטן:גדול = 1:4 → יחס השטחים = 1² : 4² = 1:16.
אם שטח הקטן הוא 6, אז הגדול הוא 6×16 = 96 סמ"ר.
במשולש אחד הזוויות הן 50°, 50°, 80°.
במשולש שני הזוויות הן 50°, 50°, 80° גם כן.
סמן את הקביעה הנכונה ביותר.
גם במשולש הראשון וגם בשני יש שתי זוויות בסיס שוות (50°, 50°) → שני המשולשים שווי שוקיים.
בנוסף, כל שלוש הזוויות זהות, ולכן ברור שהם דומים לפי ז.ז.
לא ניתן להסיק חפיפה, כי אין לנו מידע על אורכי הצלעות.
בציור שתי זוויות בכל משולש מסומנות באותו צבע, אך ללא קשתות.
מה מטרת הסימון בציור?
הצבע החוזר בזוויות מבליט שהזוויות המתאימות שוות בין שני המשולשים, גם בלי קשתות ובלי מספרי מעלות.
בכך הציור מדגיש את הרעיון של משפט ז.ז.: שתי זוויות מתאימות שוות → המשולשים דומים.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 3:7.
היקף המשולש הקטן הוא 24 ס"מ.
מה היקף המשולש הגדול?
בדמיון: יחס ההיקפים = יחס הצלעות = 3:7.
24 ÷ 3 = 8 → 8 × 7 = 56 ס"מ.
במשולש אחד הזוויות הן 40°, 60°, 80°.
במשולש שני הזוויות הן 40°, 60°, 80° גם כן.
מה אפשר לומר על יחס הדמיון בין הצלעות?
ממשפט ז.ז. אנחנו יודעים שהמשולשים דומים, ולכן:
- כל הצלעות נמצאות ביחס קבוע.
- אבל כדי לדעת האם היחס הוא 1:2, 3:5 או אחר – חייבים נתון אחד לפחות על אורכי צלעות.
לכן אפשר להסיק רק שקיים יחס קבוע, אך לא מהו בדיוק.
בכיתה נשמעה הטענה: "אם במשולשים יש זווית אחת שווה – המשולשים דומים".
מדוע הטענה אינה נכונה?
זווית אחת שווה יכולה להופיע באינסוף משולשים שונים – צרים, רחבים, גדולים וקטנים – שלא דומים זה לזה.
לכן משפט הדמיון ז.ז. קובע במפורש: שתי זוויות מתאימות שוות → דמיון.
שני משולשים מצוירים במקומות שונים במישור, אך שתי זוויות בכל אחד מסומנות כשוות.
האם מיקום המשולשים במישור משפיע על הדמיון?
דמיון משולשים אינו תלוי במיקום, בכיוון או בסיבוב של המשולשים במישור.
אפשר לסובב, להזיז ואפילו להגדיל/להקטין – הצורה הגיאומטרית (הזוויות ויחסי הצלעות) נשארת אותה צורה.
לכן מיקום המשולשים אינו משנה – רק הזוויות ויחסי הצלעות חשובים.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 4:9.
גובה במשולש הגדול הוא 18 ס"מ.
מה אורך הגובה המתאים במשולש הקטן?
גובה הוא אורך, ולכן מתנהג כמו צלע בדמיון.
יחס קטן:גדול = 4:9 → 18 ÷ 9 = 2 → 4 × 2 = 8 ס"מ.
בבעיה נתונות שתי זוויות שוות בין משולשים, וגם נתון יחס צלעות המתאים לצ.ז.צ.
איזה משפט דמיון יעיל יותר לשימוש?
בדרך כלל נבחר את המשפט הפשוט ביותר ליישום.
אם כבר יש לנו שתי זוויות מתאימות שוות – משפט ז.ז. מספק ומיידי, בלי חישובי צלעות.
שני משולשים דומים לפי ז.ז. יחס הדמיון (קטן:גדול) הוא 2:5.
במשולש הקטן אורך הצלע המתאימה הוא 7 ס"מ.
מה אורך הצלע המתאימה במשולש הגדול?
הגדול:קטן = 5:2. מקדם ההגדלה = 5 ÷ 2 = 2.5.
7 × 2.5 = 17.5.
במשולש אחד הקודקודים נקראים A, B, C ובמשולש השני A', B', C'.
מספרים את הזוויות כך: ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'. מה המשמעות של הסימון הזה?
כשמסמנים זוויות מתאימות באותן אותיות (A מול A', B מול B') הכוונה היא שהן נמצאות באותו תפקיד במבנה המשולש:
קודקוד ראשון מול קודקוד ראשון, שני מול שני, וכך הלאה.
זה בדיוק מה שנדרש במשפט ז.ז.: שתי זוויות מתאימות שוות, לא סתם שתי זוויות אקראיות.
מהו הרעיון המרכזי שעומד מאחורי משפט הדמיון ז.ז.?
המשפט ז.ז. אומר לנו:
- מספיק לבדוק שתי זוויות מתאימות.
- אם הן שוות – כל הזוויות בשני המשולשים שוות.
- מכאן שני המשולשים הם אותה צורה גיאומטרית בדיוק, רק בקנה מידה שונה.
- כל הצלעות נמצאות ביחס קבוע, כל ההיקפים והגבהים באותו יחס, והשׁטחים בריבוע יחס הצלעות.
זהו לב הרעיון של דמיון משולשים לפי ז.ז.