תרגול גאומטריה אנליטית – יסודות ישר
תרגול גאומטריה אנליטית – יסודות ישר. שאלות לתרגול ולהעמקת ההבנה בנושא גאומטריה אנליטית – יסודות ישר. תרגול מתמטיקה אונליין עם פתרונות והסברים מפורטים.
תרגול גאומטריה אנליטית יסודות ישר - מושגי בסיס בקו ישר, שיפוע, משוואה כללית וצורת שיפוע-חיתוך. מתאים למתחילים.
הישר נתון על ידי \(y = 2x + 1\). איזו מהנקודות הבאות נמצאת על הישר?
מציבים את ערך ה\(x\) במשוואה ובודקים אם מקבלים את ערך ה\(y\) של הנקודה.
למשל עבור \((2,5)\): \(y = 2\cdot 2 + 1 = 5\) ולכן הנקודה נמצאת על הישר.
הישר נתון על ידי \(y = -x + 4\). איזו מהנקודות הבאות נמצאת על הישר?
עבור \((1,3)\): \(y = -1 + 4 = 3\), לכן היא על הישר. שאר הנקודות אינן מקיימות את המשוואה.
הישר נתון על ידי \(y = \frac{1}{2}x + 2\). איזו מן הנקודות נמצאת על הישר?
עבור \((4,4)\): \(y = \frac{1}{2}\cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4\) ולכן היא על הישר.
הישר נתון על ידי \(y = -2x + 1\). איזו נקודה נמצאת על הישר?
עבור \((-1,3)\): \(y = -2\cdot(-1) + 1 = 2 + 1 = 3\), לכן הנקודה על הישר.
איזו מהנקודות הבאות אינה נמצאת על הישר \(y = x - 1\)?
עבור \((2,1)\): \(1 \neq 2 - 1 = 1\) – במקרה הזה בחרי נקודה שלא מקיימת את המשוואה. הרעיון לתלמיד: מציבים ובודקים אם שוויון מתקיים.
האם הנקודה \((3,8)\) נמצאת על הישר \(y = 2x + 2\)?
מציבים: \(y = 2\cdot 3 + 2 = 8\). אם ערך זה שונה מ\(8\), הנקודה לא על הישר. לתלמיד: הדרך היא תמיד הצבה.
הישר \(y = -x + 2\). אילו מהנקודות הבאות נמצאות על הישר?
כל אחת מהנקודות המוצעות אפשר לבדוק על ידי הצבה. במבחן רב-ברירה אנחנו בוחרים את אחת מהן כמייצגת נכונה. הרעיון: תרגול חוזר של בדיקת נקודה במשוואה.
הישר נתון על ידי \(y = 4x - 3\). מה ניתן לומר על כיוון הישר?
במשוואה \(y = mx + b\) הסימן של \(m\) קובע אם הישר עולה או יורד. כאן \(m = 4 > 0\), לכן הישר עולה.
הישר \(y = -\frac{3}{2}x + 1\). מה כיוון הישר?
השיפוע \(-\frac{3}{2}\) שלילי, ולכן כאשר הולכים ימינה, ערכי ה\(y\) יורדים.
הישר \(y = 5\). מה ניתן לומר על השיפוע שלו?
משוואה מהצורה \(y = c\) מתארת ישר אופקי, ולכן השיפוע שלו \(0\).
הישר \(x = -2\). מה ניתן לומר עליו?
משוואה מהצורה \(x = c\) מתארת ישר אנכי, מקביל לציר ה\(y\). השיפוע אינו מוגדר.
במשוואת הישר \(y = 3x - 2\), מהו שיעור נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\)?
בצורה \(y = mx + b\) הערך \(b\) הוא ערך החיתוך עם ציר ה\(y\), כלומר הנקודה \((0,b)\). כאן \(b = -2\).
הישר נתון: \(y = -x + 4\). מה נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\)?
גם כאן: החיתוך עם ציר ה\(y\) הוא \((0,b)\). לכן הנקודה \((0,4)\).
במשוואה \(y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\), מה נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\)?
גם אם \(b\) שבר, העיקרון נשאר: נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\) היא \((0,b)\).
בישר \(y = -2x + 1\):
- השיפוע שלילי או חיובי?
- החיתוך עם ציר ה\(y\) מעל או מתחת לציר ה\(x\)?
המקדמים אומרים הכל: \(m = -2\) שלילי → הישר יורד, \(b = 1\) חיובי → החיתוך עם ציר ה\(y\) מעל ציר ה\(x\).
האם הנקודה \((5,3)\) נמצאת על הישר \(y = -x + 8\)?
מציבים: \(y = -5 + 8 = 3\), ולכן הנקודה נמצאת על הישר.
האם הנקודה \((2,1)\) נמצאת על הישר \(y = \frac{1}{2}x\)?
מציבים: \(y = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1\). כאן נראה מתאים, אפשר להפוך לשאלה שאת בוחרת אם כן או לא. המיומנות: הצבה פשוטה.
התבונני בגרף. מה ניתן לומר על כיוון הישר?
כאשר הולכים ימינה על ציר ה\(x\) ורואים שהישר "מטפס" למעלה, זה אומר שהשיפוע חיובי והישר עולה.
בגרף הבא, מה ניתן לומר על כיוון הישר?
כאן כאשר זזים ימינה, ערכי ה\(y\) קטנים – כלומר שיפוע שלילי והישר יורד.
בגרף הבא, מהי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה\(y\)?
חיתוך עם ציר ה\(y\) הוא המקום שבו הישר פוגש את הציר האנכי. בשרטוט מסומן בגובה 2.
בשרטוט, היכן חותך הישר את ציר ה\(y\)?
מהגרף רואים שהישר פוגש את ציר ה\(y\) מתחת למרכז, בגובה \(-2\).
באיזה מהשרטוטים הבאים הישר הוא אופקי (חיתוך עם ציר ה\(y\) אך ללא שינוי בגובה)?
ישר אופקי הוא כזה שבו ערך ה\(y\) קבוע, ואין שינוי בגובה כשזזים על ציר ה\(x\).
איזו מההגדרות מתארת ישר אנכי?
בישר אנכי, ערך ה\(x\) קבוע ולכן משוואתו בדרך כלל \(x = c\).
איזו מהמשוואות מתארת ישר אופקי?
ישר אופקי הוא מהצורה \(y = c\) כאשר \(c\) מספר כלשהו.
איזו משוואה מייצגת ישר אנכי?
ישר אנכי הוא מהצורה \(x = c\), כלומר ערך ה\(x\) קבוע.
הישר \(y = 2\). איזו מהנקודות הבאות נמצאת עליו?
בישר אופקי עם \(y = 2\) כל נקודה בעלת ערך \(y = 2\) נמצאת עליו.
הישר \(x = -1\). איזו נקודה נמצאת עליו?
בישר אנכי ערך ה\(x\) קבוע. לכן כל נקודה שבה \(x = -1\) נמצאת עליו.
נתונים הישרים \(y = 2x + 1\) ו\(y = -x + 1\). מה נכון?
בישר הראשון \(m = 2>0\) ולכן עולה; בשני \(m = -1<0\) ולכן יורד.
בישר מסוים, כאשר \(x = 0\) מתקבל \(y = 3\), וכאשר \(x = 1\) מתקבל \(y = 5\). איזו נקודה בוודאות נמצאת על הישר?
מתוך התיאור ברור שהנקודה \((0,3)\) היא נקודת חיתוך עם ציר ה\(y\), ולכן נמצאת על הישר.
ידוע שהישר חותך את ציר ה\(y\) בנקודה \((0,-3)\). איזו מהנקודות הבאות לא יכולה להיות על הישר?
אם החיתוך עם ציר ה\(y\) הוא ב-\((0,-3)\), נקודה \((0,0)\) אינה יכולה להיות על אותו הישר, כי אז ערך החיתוך היה שונה.
האם הנקודה \((0,1)\) היא נקודת החיתוך של הישר \(y = -3x + 1\) עם ציר ה\(y\)?
במשוואה \(y = mx + b\) החיתוך הוא \((0,b)\). כאן \(b = 1\), ולכן \((0,1)\) היא בדיוק נקודת החיתוך.
בישר מסוים, כאשר \(x\) גדל, ערך ה\(y\) קטן. מה ניתן לומר על השיפוע?
אם כאשר מתקדמים ימינה ערכי ה\(y\) יורדים, מדובר בשיפוע שלילי וישר יורד.
בישר אחר, בכל פעם שמעלים את ערך ה\(x\) ב-1, ערך ה\(y\) עולה ב-2. מה ניתן לומר?
עלייה קבועה של ערך ה\(y\) כאשר \(x\) גדל מעידה על שיפוע חיובי.
מהי הדרך הכללית לבדוק אם נקודה \((x_0,y_0)\) נמצאת על הישר \(y = mx + b\)?
זו ההגדרה: נקודה נמצאת על הישר אם היא מקיימת את המשוואה שלו.
בחרי את המשפט הנכון לגבי נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\) של ישר מהצורה \(y = mx + b\):
שוב: נקודת החיתוך עם ציר ה\(y\) היא המקום שבו \(x = 0\), לכן ערכה \((0,b)\).
האם הישר הבא עולה או יורד?
הקו נע משמאל למטה לימין למעלה → שיפוע חיובי → ישור עולה.
האם הישר בשרטוט עולה או יורד?
הקו יורד משמאל למעלה לימין למטה → שיפוע שלילי.
האם הישר המוצג עולה או יורד?
הקו עולה – הערך של y גדל ככל ש־x גדל.
הישר מתואר כך. האם הוא עולה או יורד?
הקו יורד מ־y גבוה ל־y נמוך כאשר x גדל.
זיהוי שיפוע לפי גרף: מה השיפוע של הישר הבא?
שמאל נמוך → ימין גבוה → עולה.
מה ניתן לומר על שיפוע הישר?
שיפוע שלילי → יורד.
האם הישר הבא עולה או יורד?
הקו עולה → שיפוע חיובי.
במשוואת הישר \(y = 2x + 1\) – האם הישר עולה או יורד?
השיפוע הוא 2 (חיובי) → ישר עולה.
האם הישר \(y = -3x + 5\) עולה או יורד?
שיפוע -3 → שלילי → ישר יורד.
במשוואת \(y = 0.5x - 4\) – האם הישר עולה?
שיפוע 0.5 חיובי → הישר עולה.
לפי המשוואה \(y = -\frac{1}{2}x + 7\) – מה סוג השיפוע?
השיפוע הוא \( -\frac{1}{2} \) → שלילי.
במשוואת הישר \(y = 4x - 9\), האם הישר עולה?
שיפוע 4 חיובי → עולה.
במשוואת \(y = -x + 1\), השיפוע שלילי או חיובי?
שיפוע = -1 → ישר יורד.
האם הישר \(y = 6x\) עולה או יורד?
שיפוע 6 → חיובי → עולה.