הגדרה. יהיו \( A, B \) שני מאורעות במרחב הסתברות, כאשר \( P(B) > 0 \). ההסתברות המותנית של \( A \) בהינתן \( B \) מסומנת \( P(A\mid B) \) ומוגדרת על ידי:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

אינטואיטיבית, אנו "מצמצמים" את מרחב המדגם רק לתוצאות בהן \( B \) קרה, ושואלים איזה חלק מהן הוא גם בתוך \( A \). בדיאגרמת ון: \( B \) הופך למרחב החדש, והחיתוך \( A \cap B \) הוא החלק "הטוב" בתוכו.

נוסחת ההכפלה. מהגדרה זו נובע מיד:

\[ P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A\mid B) = P(A)\cdot P(B\mid A) \]

אי תלות. שני מאורעות \( A, B \) נקראים בלתי תלויים אם \( P(A\mid B) = P(A) \), או באופן שקול: \( P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \). במצב כזה הידיעה ש־\( B \) קרה אינה משנה את ההסתברות של \( A \).

משפט בייס (גרסה בסיסית). כאשר ידועות \( P(A) \), \( P(B\mid A) \) ו־\( P(B\mid \bar{A}) \), ניתן "להפוך" את כיוון ההתניה:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})} \]

עץ הסתברות. כלי גרפי לבעיות דו־שלביות: בכל ענף רושמים את ההסתברות המותנית בהינתן כל ההיסטוריה עד אליו, ומכפילים לאורך הענף כדי לקבל את הסתברות "החיתוך".

דוגמה 1 — קלפים. מחבילת \( 52 \) קלפים בוחרים קלף אקראי. נתון שהקלף הוא "פנים" (J, Q או K). מהי ההסתברות שהוא לב?

פתרון. נסמן \( A = \{\text{לב}\} \), \( B = \{\text{פנים}\} \). מספר קלפי הפנים: \( 12 \); מתוכם קלפי לב: \( 3 \). לכן:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{3/52}{12/52} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \]

שימו לב שזו גם ההסתברות הלא־מותנית להוציא לב, ולכן "לב" ו"פנים" בלתי תלויים בניסוי זה.

דוגמה 2 — שתי קוביות. זורקים שתי קוביות הוגנות. בהינתן שסכום הקוביות הוא \( 8 \), מהי ההסתברות שעל אחת מהן יצא \( 5 \)?

פתרון. מאורע \( B \): סכום \( 8 \). התוצאות: \( (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \) — סך \( 5 \) תוצאות. מתוכן, בתוצאות שבהן מופיע \( 5 \): \( (3,5),(5,3) \) — \( 2 \) תוצאות. לכן:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{2}{5} \]

דוגמה 3 — כד וכדורים (שליפה ללא החזרה). בכד \( 5 \) כדורים אדומים ו־\( 3 \) כחולים. שולפים שני כדורים ללא החזרה. מהי ההסתברות שהשני אדום בהינתן שהראשון אדום?

פתרון. בהינתן שהראשון אדום, נשארו בכד \( 4 \) אדומים ו־\( 3 \) כחולים, סה"כ \( 7 \) כדורים:

\[ P(\text{שני אדום}\mid \text{ראשון אדום}) = \dfrac{4}{7} \]

מנוסחת ההכפלה: \( P(\text{שניהם אדומים}) = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \).

דוגמה 4 — בדיקה רפואית (בייס). מחלה נדירה שכיחה ב־\( 1\% \) מהאוכלוסייה. בדיקה מזהה אותה ב־\( 99\% \) מהחולים (רגישות) ונותנת תוצאה חיובית שגויה ב־\( 5\% \) מהבריאים. אדם נבדק וקיבל תוצאה חיובית. מה ההסתברות שהוא באמת חולה?

פתרון. נסמן \( A = \{\text{חולה}\} \), \( B = \{\text{תוצאה חיובית}\} \). נתון: \( P(A) = 0.01 \), \( P(B\mid A) = 0.99 \), \( P(B\mid \bar{A}) = 0.05 \). לפי בייס:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{0.01 \cdot 0.99}{0.01 \cdot 0.99 + 0.99 \cdot 0.05} = \dfrac{0.0099}{0.0099 + 0.0495} = \dfrac{0.0099}{0.0594} \approx 0.1667 \]

למרות "רגישות" של \( 99\% \), ההסתברות להיות חולה בהינתן תוצאה חיובית היא רק כ־\( 16.7\% \) — תופעה אופיינית למחלות נדירות.

דוגמה 5 — בעיה דו־שלבית עם עץ. במפעל יש שתי מכונות: \( M_1 \) מייצרת \( 60\% \) מהפריטים עם \( 2\% \) פגומים, ו־\( M_2 \) מייצרת \( 40\% \) עם \( 5\% \) פגומים. נבחר פריט אקראית והוא נמצא פגום. מה ההסתברות שהוא יוצר ב־\( M_1 \)?

פתרון. נצייר עץ עם השלב הראשון = מכונה, והשלב השני = פגום/תקין. ההסתברות לפריט פגום:

\[ P(\text{פגום}) = 0.6\cdot 0.02 + 0.4\cdot 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032 \] \[ P(M_1 \mid \text{פגום}) = \dfrac{0.6 \cdot 0.02}{0.032} = \dfrac{0.012}{0.032} = 0.375 \]

כלומר, \( 37.5\% \) מהפריטים הפגומים מקורם ב־\( M_1 \) — פחות מ־\( 60\% \) שהוא חלקה בייצור, כי שיעור הפגומים שלה נמוך יותר.

בלבול בין \( P(A\mid B) \) ל־\( P(B\mid A) \). זוהי טעות "היפוך התנאי" המפורסמת. למשל בדוגמת הבדיקה הרפואית, \( P(\text{חיובי}\mid \text{חולה})=0.99 \) אינו אותו דבר כמו \( P(\text{חולה}\mid \text{חיובי})\approx 0.167 \). יש להשתמש במשפט בייס כדי לעבור ביניהם.

הנחת אי תלות ללא בדיקה. כתיבה אוטומטית של \( P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \) בלי שהמאורעות באמת בלתי תלויים. בשליפה ללא החזרה, למשל, התוצאות תלויות, וצריך להשתמש בנוסחת ההכפלה הכללית: \( P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A) \).

שכחת הצמצום של מרחב המדגם. כשמחשבים \( P(A\mid B) \) בספירה ישירה, צריך לחלק במספר התוצאות שבהן \( B \) קרה — לא בגודל המרחב המקורי. לדוגמה: בהינתן שסכום הקוביות \( 8 \), המכנה הוא \( 5 \) ולא \( 36 \).

הגדרה:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0 \]

נוסחת ההכפלה:

\[ P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A\mid B) = P(A)\cdot P(B\mid A) \]

הסתברות שולית (חוק ההסתברות הכוללת):

\[ P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A}) \]

משפט בייס:

\[ P(A\mid B) = \dfrac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)} \]

אי תלות: \( A, B \) בלתי תלויים אם"ם \( P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \), ושקול לכך \( P(A\mid B) = P(A) \).

כלי עזר: עץ הסתברות לבעיות דו־שלביות, דיאגרמת ון להמחשה, וטבלת שכיחויות לבעיות שיוך/סיווג.