הנוסחה המרכזית לתהליך גדילה או דעיכה אקספוננציאלי בדידה (לפי יחידות זמן שלמות) היא:

\( A(t) = A_0 \cdot q^{\,t} \)

• \(A_0\) — הכמות ההתחלתית (בזמן \(t=0\)).
• \(q\) — מקדם הגדילה/דעיכה ליחידת זמן (יחס בין שני ערכים סמוכים).
• \(t\) — מספר יחידות הזמן שעברו.
• \(A(t)\) — הכמות לאחר \(t\) יחידות זמן.

בתהליך רציף (כשהשינוי מתרחש בכל רגע, לא רק בקפיצות שלמות) משתמשים בנוסחה השקולה:

\( A(t) = A_0 \cdot e^{kt} \)

כאשר \(k>0\) זו גדילה, \(k<0\) זו דעיכה, והקשר בין הצורות הוא \(q = e^{k}\), כלומר \(k = \ell n\,q\).

דוגמה 1 — גדילת אוכלוסייה: בעיר מתגוררים 50,000 תושבים. האוכלוסייה גדלה ב-2% בשנה. כמה תושבים יהיו לאחר 10 שנים?

פתרון: \(A_0 = 50000\), \(q = 1.02\). מקבלים \(A(10) = 50000 \cdot 1.02^{10} \approx 50000 \cdot 1.2190 \approx 60{,}950\) תושבים.

דוגמה 2 — גידול חיידקים: מספר חיידקים בתרבית מוכפל כל 3 שעות. בזמן \(t=0\) היו 200 חיידקים. מתי יהיו 6,400 חיידקים?

פתרון: בוחרים יחידת זמן של 3 שעות, אז \(q=2\) ו-\(A(t)=200 \cdot 2^{t}\). פותרים \(200 \cdot 2^{t} = 6400 \Rightarrow 2^{t}=32 \Rightarrow t=5\) יחידות, כלומר \(5 \cdot 3 = 15\) שעות.

דוגמה 3 — דעיכה רדיואקטיבית וחצי חיים: זמן מחצית החיים של איזוטופ הוא 8 ימים. ביום \(t=0\) יש 80 גרם. כמה גרם יישארו לאחר 20 ימים?

פתרון: נסמן ביחידות של 8 ימים: \(A(t) = 80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8}\). מציבים \(t=20\): \(A(20) = 80 \cdot (0.5)^{20/8} = 80 \cdot (0.5)^{2.5} \approx 80 \cdot 0.1768 \approx 14.14\) גרם.

דוגמה 4 — ריבית דריבית: מפקידים 10,000 ש"ח בריבית שנתית של 4%. תוך כמה שנים הסכום יוכפל?

פתרון: \(A(t) = 10000 \cdot 1.04^{t}\). דורשים \(1.04^{t} = 2\), מפעילים \(\ell n\): \(t = \dfrac{\ell n\,2}{\ell n\,1.04} \approx \dfrac{0.6931}{0.0392} \approx 17.67\) שנים.

דוגמה 5 — צינון של חוק ניוטון (מודל רציף): טמפרטורת חפץ ביחס לסביבה מקיימת \(T(t) = 80 \cdot e^{-0.05\,t}\) (\(t\) בדקות). מתי הטמפרטורה היחסית תרד ל-20 מעלות?

פתרון: \(80 \cdot e^{-0.05t} = 20 \Rightarrow e^{-0.05t} = 0.25\). מפעילים \(\ell n\): \(-0.05t = \ell n\,0.25 \approx -1.3863\), ולכן \(t \approx 27.73\) דקות.

טעות 1 — בלבול בין אחוז שינוי לבין \(q\): כותבים \(q=0.05\) במקום \(q=1.05\) בגדילה של 5%, או \(q=-0.07\) במקום \(q=0.93\) בדעיכה של 7%. תזכרו: \(q\) הוא תמיד חיובי, ונכתב כ-\(1 \pm \tfrac{p}{100}\).

טעות 2 — חוסר התאמה בין יחידת \(t\) לבין \(q\): אם \(q\) חושב לפי שינוי שנתי, אסור להציב \(t\) בחודשים. צריך לבחור יחידת זמן אחת ולעבוד איתה לאורך כל התרגיל.

טעות 3 — שימוש שגוי בלוגריתם: כדי לבודד את \(t\) במשוואה \(q^{t}=c\) חייבים להפעיל לוגריתם משני הצדדים: \(t = \dfrac{\ell n\,c}{\ell n\,q}\). אסור לחלק את \(c\) ב-\(q\) או לבצע "שורש t" שגוי.

• מודל בדיד: \(A(t) = A_0 \cdot q^{\,t}\). גדילה: \(q>1\); דעיכה: \(0
• מודל רציף: \(A(t) = A_0 \cdot e^{kt}\). גדילה: \(k>0\); דעיכה: \(k<0\). קשר: \(q=e^{k}\), \(k=\ell n\,q\).
• אחוז שינוי \(p\%\): בגדילה \(q=1+\tfrac{p}{100}\), בדעיכה \(q=1-\tfrac{p}{100}\).
• זמן מחצית חיים \(T_{1/2}\): \(A(t)=A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\), וגם \(T_{1/2}=\dfrac{\ell n\,2}{|k|}\).
• פתרון ל-\(t\): מהמשוואה \(A_0 \cdot q^{\,t}=A\) מקבלים \(t = \dfrac{\ell n(A/A_0)}{\ell n\,q}\).
• סימון משרד החינוך: בכתיבה ידנית/בבחינות בגרות נהוג לסמן את הלוגריתם הטבעי כ-\(\ell n\) ואת לוגריתם בסיס 10 כ-\(\ell og\).