השערת האפס \( H_0 \): טענה ברירת המחדל, בדרך כלל של "אין שינוי" או "אין הבדל", למשל \( H_0: \mu = \mu_0 \).

השערה אלטרנטיבית \( H_1 \): הטענה שאנו מנסים להוכיח. יכולה להיות דו-צדדית \( H_1: \mu \neq \mu_0 \) או חד-צדדית \( H_1: \mu > \mu_0 \) או \( H_1: \mu < \mu_0 \).

רמת מובהקות \( \alpha \): ההסתברות המקסימלית שאנו מוכנים לקבל לדחיית \( H_0 \) כאשר היא נכונה (טעות מסוג I). ערכים נפוצים: \( \alpha = 0.05, 0.01 \).

סטטיסטי המבחן Z: כאשר \( \sigma \) ידוע והמדגם גדול או הנתונים נורמליים, מחשבים

\[ Z = \dfrac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \]

p-value: ההסתברות לקבל סטטיסטי קיצוני לפחות כמו זה שהתקבל, בהנחה ש-\( H_0 \) נכונה.

אזור דחייה: תחום הערכים של \( Z \) שעבורם נדחה את \( H_0 \). למשל במבחן דו-צדדי ברמה \( \alpha = 0.05 \): \( |Z| > 1.96 \).

סוג מבחן	\( H_1 \)	אזור דחייה ב-\( \alpha=0.05 \)
דו-צדדי	\( \mu \neq \mu_0 \)	\( |Z| > 1.96 \)
חד-צדדי ימני	\( \mu > \mu_0 \)	\( Z > 1.645 \)
חד-צדדי שמאלי	\( \mu < \mu_0 \)	\( Z < -1.645 \)

דוגמה 1 — מבחן ממוצע חד-צדדי: יצרן טוען שאורך החיים הממוצע של נורה הוא לפחות 1000 שעות. במדגם של \( n=36 \) נורות התקבל \( \bar{X}=970 \) שעות. ידוע \( \sigma=60 \). בדקו ברמת \( \alpha=0.05 \) האם הטענה נכונה.

\( H_0: \mu = 1000 \), \( H_1: \mu < 1000 \) (חד-צדדי שמאלי).

\( Z = \dfrac{970 - 1000}{60/\sqrt{36}} = \dfrac{-30}{10} = -3 \).

ערך קריטי: \( -Z_{0.05} = -1.645 \). מאחר ש-\( -3 < -1.645 \) — דוחים את \( H_0 \). יש ראיה שאורך החיים הממוצע קטן מ-1000 שעות.

דוגמה 2 — מבחן ממוצע דו-צדדי עם p-value: משקל ממוצע של חבילה צריך להיות 500 גרם. נמדדו \( n=64 \) חבילות, \( \bar{X}=504 \), \( \sigma=16 \). בדקו \( \alpha=0.05 \).

\( H_0: \mu = 500 \), \( H_1: \mu \neq 500 \).

\( Z = \dfrac{504-500}{16/\sqrt{64}} = \dfrac{4}{2} = 2 \).

\( \text{p-value} = 2 \cdot P(Z > 2) = 2 \cdot 0.0228 = 0.0456 \). מאחר ש-\( 0.0456 < 0.05 \) — דוחים את \( H_0 \).

דוגמה 3 — מבחן שיעור (proportion): מועמד טוען שיתמכו בו לפחות 50% מהבוחרים. בסקר של \( n=400 \) נמצאו 184 תומכים. בדקו ברמת \( \alpha=0.05 \).

\( H_0: p = 0.5 \), \( H_1: p < 0.5 \). \( \hat{p} = 184/400 = 0.46 \).

\( Z = \dfrac{0.46 - 0.5}{\sqrt{0.5 \cdot 0.5 / 400}} = \dfrac{-0.04}{0.025} = -1.6 \).

\( -1.6 > -1.645 \) — לא דוחים את \( H_0 \). אין מספיק ראיות לפסול את טענת המועמד.

דוגמה 4 — השוואת שני ממוצעים: שתי מכונות. מ-1: \( n_1=50, \bar{X}_1=102, \sigma_1=8 \). מ-2: \( n_2=50, \bar{X}_2=99, \sigma_2=10 \). האם יש הבדל ברמת \( \alpha=0.05 \)?

\( H_0: \mu_1 = \mu_2 \), \( H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \).

\( Z = \dfrac{102-99}{\sqrt{8^2/50 + 10^2/50}} = \dfrac{3}{\sqrt{1.28+2}} = \dfrac{3}{\sqrt{3.28}} \approx \dfrac{3}{1.811} \approx 1.657 \).

\( |1.657| < 1.96 \) — לא דוחים את \( H_0 \). אין הבדל מובהק.

דוגמה 5 — טעויות מסוג I ו-II: במבחן עם \( H_0: \mu = 100 \) מול \( H_1: \mu = 105 \), \( \sigma=10, n=25, \alpha=0.05 \) (חד-צדדי ימני). מהי עוצמת המבחן?

ערך קריטי: \( \bar{X}_c = 100 + 1.645 \cdot (10/5) = 103.29 \).

\( \beta = P(\bar{X} < 103.29 \mid \mu=105) = P\!\left(Z < \dfrac{103.29-105}{2}\right) = P(Z < -0.855) \approx 0.196 \).

עוצמה \( = 1 - \beta \approx 0.804 \). טעות מסוג I: \( \alpha=0.05 \). טעות מסוג II: \( \beta \approx 0.196 \).

סטטיסטי \( Z \) לממוצע (\( \sigma \) ידוע): \[ Z = \dfrac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \]

סטטיסטי \( Z \) לשיעור: \[ Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \]

סטטיסטי \( Z \) להפרש ממוצעים (\( \sigma_1,\sigma_2 \) ידועים): \[ Z = \dfrac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2}} \]

כלל החלטה: דוחים \( H_0 \) אם p-value \( < \alpha \), או באופן שקול אם \( Z \) נופל באזור הדחייה.

ערכים קריטיים נפוצים: דו-צדדי \( \alpha=0.05 \Rightarrow |Z|>1.96 \); חד-צדדי \( \alpha=0.05 \Rightarrow |Z|>1.645 \).

טעויות: טעות מסוג I — דחיית \( H_0 \) נכונה, הסתברות \( \alpha \). טעות מסוג II — אי-דחיית \( H_0 \) שגויה, הסתברות \( \beta \). עוצמה \( =1-\beta \).

למעבר לתרגול: בדיקות השערות (מבחן 108) ←