הגדרת הלוגריתם: בהינתן בסיס \( b>0,\; b\neq 1 \) ו-\( x>0 \), הלוגריתם של \( x \) בבסיס \( b \) הוא המעריך שצריך להעלות בו את \( b \) כדי לקבל את \( x \):

\[ \ell\mathrm{og}_b(x)=y \;\Longleftrightarrow\; b^{y}=x \]

תחום ההגדרה: \( x>0 \) תמיד, והבסיס \( b \) חייב להיות חיובי ושונה מ-1. שני זהויות שצריך לזכור בעל-פה: \( \ell\mathrm{og}_b(1)=0 \) (כי \( b^0=1 \)), \( \ell\mathrm{og}_b(b)=1 \) (כי \( b^1=b \)).

דוגמה 1 — חישוב ישיר מההגדרה

בעיה: חשבו את \( \ell\mathrm{og}_2(32) \).

פתרון: מחפשים מעריך \( y \) שמקיים \( 2^{y}=32 \). מכיוון ש-\( 32=2^{5} \), נקבל \( y=5 \).

תשובה: \( \ell\mathrm{og}_2(32)=5 \).

דוגמה 2 — חוק המכפלה

בעיה: פשטו את \( \ell\mathrm{og}_3(9)+\ell\mathrm{og}_3(27) \).

פתרון: לפי חוק המכפלה הסכום שווה ל-\( \ell\mathrm{og}_3(9\cdot 27)=\ell\mathrm{og}_3(243) \). כעת \( 243=3^{5} \), ולכן הביטוי שווה ל-5. דרך שנייה: \( \ell\mathrm{og}_3(9)=2 \) ו-\( \ell\mathrm{og}_3(27)=3 \), והסכום הוא \( 2+3=5 \).

תשובה: \( 5 \).

דוגמה 3 — חוק המנה וחוק החזקה

בעיה: כתבו את הביטוי \( \ell\mathrm{og}_5\!\left(\dfrac{x^{3}}{y}\right) \) כסכום והפרש של לוגריתמים פשוטים (\( x,y>0 \)).

פתרון: ראשית מפעילים את חוק המנה: \[ \ell\mathrm{og}_5\!\left(\tfrac{x^{3}}{y}\right)=\ell\mathrm{og}_5(x^{3})-\ell\mathrm{og}_5(y). \] לאחר מכן, על המחובר הראשון מפעילים את חוק החזקה: \( \ell\mathrm{og}_5(x^{3})=3\,\ell\mathrm{og}_5(x) \).

תשובה: \( 3\,\ell\mathrm{og}_5(x)-\ell\mathrm{og}_5(y) \).

דוגמה 4 — משוואה לוגריתמית

בעיה: פתרו את המשוואה \( \ell\mathrm{og}_2(x)+\ell\mathrm{og}_2(x-2)=3 \).

פתרון: תחום הגדרה: \( x>0 \) ו-\( x-2>0 \), כלומר \( x>2 \). מאחדים את הסכום לפי חוק המכפלה: \[ \ell\mathrm{og}_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3 \;\Longrightarrow\; x(x-2)=2^{3}=8. \] מקבלים את המשוואה הריבועית \( x^{2}-2x-8=0 \), שפתרונותיה \( x=4 \) ו-\( x=-2 \). הפתרון \( x=-2 \) נפסל כי הוא מחוץ לתחום ההגדרה.

תשובה: \( x=4 \).

דוגמה 5 — שינוי בסיס

בעיה: הביעו את \( \ell\mathrm{og}_8(32) \) באמצעות לוגריתם בבסיס 2, וחשבו את ערכו.

פתרון: לפי חוק שינוי הבסיס: \[ \ell\mathrm{og}_8(32)=\dfrac{\ell\mathrm{og}_2(32)}{\ell\mathrm{og}_2(8)}=\dfrac{5}{3}. \] (השתמשנו ב-\( 32=2^{5} \) ו-\( 8=2^{3} \).)

תשובה: \( \ell\mathrm{og}_8(32)=\dfrac{5}{3} \).

✗ טעות נפוצה: לכתוב \( \ell\mathrm{og}_b(x+y)=\ell\mathrm{og}_b(x)+\ell\mathrm{og}_b(y) \). חוק המכפלה חל על מכפלה בתוך הלוגריתם — לא על חיבור.

✓ הדרך הנכונה: \( \ell\mathrm{og}_b(x\cdot y)=\ell\mathrm{og}_b(x)+\ell\mathrm{og}_b(y) \). הביטוי \( \ell\mathrm{og}_b(x+y) \) פשוט לא מתפרק לסכום של לוגריתמים.

✗ טעות נפוצה: לבלבל בין \( \bigl(\ell\mathrm{og}_b(x)\bigr)^{n} \) לבין \( \ell\mathrm{og}_b(x^{n}) \), ולכתוב את שני הביטויים כ-\( n\,\ell\mathrm{og}_b(x) \).

✓ הדרך הנכונה: חוק החזקה אומר רק \( \ell\mathrm{og}_b(x^{n})=n\,\ell\mathrm{og}_b(x) \). הביטוי \( \bigl(\ell\mathrm{og}_b(x)\bigr)^{n} \) הוא חזקה של מספר ואין לו פישוט לוגריתמי.

✗ טעות נפוצה: לפתור משוואה לוגריתמית ולשכוח לפסול פתרונות שפוגעים בתחום ההגדרה — לדוגמה לקבל \( x=-2 \) ולהשאיר אותו כתשובה.

✓ הדרך הנכונה: בתחילת הפתרון רשמו את האילוצים על כל ארגומנט, ובסוף הציבו את הפתרונות שהתקבלו ובדקו שהם מקיימים את כל אי-השוויונים.

ארבעת חוקי הלוגריתמים (\( b>0,\; b\neq 1,\; x,y>0 \)):

\[ \ell\mathrm{og}_b(xy)=\ell\mathrm{og}_b(x)+\ell\mathrm{og}_b(y) \]

\[ \ell\mathrm{og}_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right)=\ell\mathrm{og}_b(x)-\ell\mathrm{og}_b(y) \]

\[ \ell\mathrm{og}_b(x^{n})=n\,\ell\mathrm{og}_b(x) \]

\[ \ell\mathrm{og}_b(x)=\dfrac{\ell\mathrm{og}_c(x)}{\ell\mathrm{og}_c(b)} \]

• זכרו תמיד: \( \ell\mathrm{og}_b(1)=0 \) ו-\( \ell\mathrm{og}_b(b)=1 \).
• החוקים פועלים על מכפלה, מנה וחזקה בתוך הלוגריתם — אף פעם לא על חיבור או חיסור בתוך הלוגריתם.
• תחום ההגדרה (\( x>0 \)) הוא חלק מהפתרון ולא הערה צדדית — בלעדיו הפתרון לא שלם.