פונקציית מטרה \( f(x) \): הפונקציה שאת ערכה המקסימלי או המינימלי אנו מחפשים — למשל שטח, נפח, היקף, עלות, רווח או מרחק. זו ה"שאלה" של הבעיה: "מצא את ה...".

אילוץ (תנאי): משוואה הקושרת בין שני המשתנים בבעיה — למשל היקף קבוע, נפח קבוע, סכום קבוע. האילוץ מאפשר לבטא משתנה אחד באמצעות השני וכך לקבל פונקציה במשתנה אחד בלבד.

תחום הגדרה: בבעיות גיאומטריות/פיזיקליות יש להגביל את המשתנה לערכים חיוביים בלבד (אורך, רוחב, רדיוס, זמן וכו'). לעיתים מתקבל גם תחום מהאילוץ עצמו.

תנאי קיצון: נקודת קיצון פנימית מקיימת \( f'(x) = 0 \). את סוג הקיצון בודקים באמצעות טבלת סימנים של \( f'(x) \) או באמצעות הנגזרת השנייה: אם \( f''(x_0) < 0 \) זה מקסימום, אם \( f''(x_0) > 0 \) זה מינימום.

דוגמה 1 — שטח מלבן מקסימלי בהיקף נתון

היקף מלבן הוא 40 ס"מ. מהם ממדיו כך שהשטח יהיה מקסימלי?

פתרון: נסמן את הצלעות \( x, y \). פונקציית המטרה: \( S = x \cdot y \). האילוץ: \( 2x + 2y = 40 \), כלומר \( y = 20 - x \), כאשר \( 0 < x < 20 \).

נציב: \( S(x) = x(20 - x) = 20x - x^2 \). נגזור: \( S'(x) = 20 - 2x \). \[ S'(x) = 0 \Rightarrow x = 10 \] \( S''(x) = -2 < 0 \) — מקסימום. לכן \( x = 10, \ y = 10 \) (ריבוע) והשטח המקסימלי הוא \( 100 \) סמ"ר.

דוגמה 2 — סכום קבוע ומכפלה מקסימלית

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 30. מצאו את המספרים כך שמכפלת אחד מהם בריבוע השני תהיה מקסימלית.

פתרון: נסמן את המספרים \( x, y > 0 \). פונקציית מטרה: \( P = x \cdot y^2 \). אילוץ: \( x + y = 30 \Rightarrow x = 30 - y \), כאשר \( 0 < y < 30 \).

נציב: \( P(y) = (30 - y) y^2 = 30y^2 - y^3 \). \( P'(y) = 60y - 3y^2 = 3y(20 - y) \). \[ P'(y) = 0 \Rightarrow y = 20 \] (\( y = 0 \) פסול). בטבלת סימנים מקבלים שזו נקודת מקסימום. אזי \( y = 20, \ x = 10 \) והמכפלה המקסימלית היא \( 10 \cdot 400 = 4000 \).

דוגמה 3 — נפח קופסה ללא מכסה

מלוח מתכת ריבועי בגודל \( 12 \times 12 \) ס"מ חותכים ריבועים שווים בארבע הפינות ומקפלים את הצדדים כדי לקבל קופסה פתוחה. מה אורך הריבוע שיש לחתוך כך שהנפח יהיה מקסימלי?

פתרון: נסמן את אורך צלע הריבוע הנחתך \( x \). ממדי הקופסה: בסיס \( (12 - 2x) \times (12 - 2x) \) וגובה \( x \). פונקציית המטרה: \( V(x) = x(12 - 2x)^2 \), עם תחום \( 0 < x < 6 \).

פתיחה: \( V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3 \). \( V'(x) = 144 - 96x + 12x^2 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6) \). \[ V'(x) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ או } x = 6 \] \( x = 6 \) מחוץ לתחום. בנקודה \( x = 2 \), \( V''(2) = -96 + 24 \cdot 2 = -48 < 0 \) — מקסימום. הנפח המקסימלי: \( V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128 \) סמ"ק.

דוגמה 4 — שטח פנים מינימלי של גליל בנפח נתון

גליל סגור בעל נפח \( V = 2\pi \) סמ"ק. מצאו את הרדיוס \( r \) שעבורו שטח הפנים מינימלי.

פתרון: פונקציית מטרה: \( S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \). אילוץ: \( \pi r^2 h = 2\pi \Rightarrow h = \dfrac{2}{r^2} \).

נציב: \( S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{2}{r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{4\pi}{r} \), \( r > 0 \). \( S'(r) = 4\pi r - \dfrac{4\pi}{r^2} \). \[ S'(r) = 0 \Rightarrow 4\pi r = \dfrac{4\pi}{r^2} \Rightarrow r^3 = 1 \Rightarrow r = 1 \] \( S''(r) = 4\pi + \dfrac{8\pi}{r^3} > 0 \) — מינימום. אזי \( r = 1, \ h = 2 \), ושטח הפנים המינימלי הוא \( 6\pi \) סמ"ר.

דוגמה 5 — מרחק מינימלי בין נקודה לפרבולה

מצאו את הנקודה על הפרבולה \( y = x^2 \) הקרובה ביותר לנקודה \( A(0, 3) \).

פתרון: נקודה כללית על הפרבולה: \( (x, x^2) \). פונקציית המטרה — נוח למזער את ריבוע המרחק: \( D(x) = x^2 + (x^2 - 3)^2 \). פיתוח: \( D(x) = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9 \).

\( D'(x) = 4x^3 - 10x = 2x(2x^2 - 5) \). \[ D'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ או } x = \pm\sqrt{5/2} \] בטבלת סימנים מקבלים ש-\( x = 0 \) היא מקסימום מקומי ו-\( x = \pm\sqrt{5/2} \) הן נקודות מינימום. אזי הנקודות הקרובות ביותר הן \( \left( \pm\sqrt{5/2},\, 5/2 \right) \), והמרחק המינימלי הוא \( \sqrt{D(\sqrt{5/2})} = \sqrt{11/4} = \dfrac{\sqrt{11}}{2} \).

שכחה להשתמש באילוץ: ניסיון לגזור פונקציית מטרה הכוללת שני משתנים (\( x \)-ים ו-\( y \)-ים יחד) ללא הצבת האילוץ. תמיד יש לבטא משתנה אחד באמצעות השני ולקבל פונקציה במשתנה אחד בלבד לפני הגזירה.

אי-בדיקת סוג הקיצון: פתרון המשוואה \( f'(x) = 0 \) והכרזה אוטומטית על מקסימום או מינימום. חובה לבדוק בעזרת טבלת סימנים או נגזרת שנייה — לעיתים זו נקודת פיתול ולא קיצון, או שהתקבל מינימום במקום שחיפשנו מקסימום.

התעלמות מתחום ההגדרה: קבלת פתרונות שליליים או גדולים מדי המייצגים אורך/רדיוס לא חוקיים, או שכחה לבדוק את ערכי הפונקציה גם בקצוות תחום ההגדרה כשמדובר בקטע סגור.

אלגוריתם כללי: סימון משתנים ← פונקציית מטרה \( f(x,y) \) ← אילוץ \( g(x,y) = c \) ← ביטוי \( y \) באמצעות \( x \) ← קבלת \( f(x) \) ← פתרון \[ f'(x) = 0 \] ← בדיקת סוג הקיצון ← חזרה לשאלה המקורית.

זיהוי סוג קיצון: אם \( f''(x_0) < 0 \) — מקסימום; אם \( f''(x_0) > 0 \) — מינימום. לחלופין — טבלת סימנים של \( f'(x) \): שינוי סימן מ-\( + \) ל-\( - \) הוא מקסימום, מ-\( - \) ל-\( + \) הוא מינימום.

נוסחאות גיאומטריות שימושיות: מלבן: \( P = 2(x+y),\ S = xy \). תיבה: \( V = abc,\ S = 2(ab+bc+ac) \). גליל: \( V = \pi r^2 h,\ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \). חרוט: \( V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \). כדור: \( V = \tfrac{4}{3}\pi r^3,\ S = 4\pi r^2 \).

מרחק: בין \( (x_1,y_1) \) ל-\( (x_2,y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) — מומלץ למזער את \( d^2 \).