代数技巧
因式分解 - 所有方法
📐 什么是因式分解?
因式分解=把表达式写成因式的乘积
这是去括号的逆运算!
💡 为什么重要?
- 求解二次及更高次方程
- 化简代数分式
- 求与 x 轴的交点
1️⃣ 提取公因式
提取所有项中最大的公因式(最大公因式)
例 1: \(6x^2 + 9x\)
最大公因式:\(3x\)
\(= 3x(2x + 3)\)
例 2: \(4x^3 - 8x^2 + 12x\)
最大公因式:\(4x\)
\(= 4x(x^2 - 2x + 3)\)
2️⃣ 乘法公式
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 平方差 | \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) |
| 完全平方(和) | \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) |
| 完全平方(差) | \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) |
例 3(平方差): \(x^2 - 9\)
\(= x^2 - 3^2\)
\(= (x-3)(x+3)\)
例 4(平方差): \(4x^2 - 25\)
\(= (2x)^2 - 5^2\)
\(= (2x-5)(2x+5)\)
例 5(完全平方-和): \(x^2 + 6x + 9\)
\(= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2\)
\(= (x+3)^2\)
例 6(完全平方-差): \(x^2 - 10x + 25\)
\(= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2\)
\(= (x-5)^2\)
3️⃣ 三项式分解(三项)
对于 \(x^2 + bx + c\) 寻找两个数,其和为 b,乘积为 c
\(x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)\)
其中 \(m + n = b\) 以及 \(m \cdot n = c\)
例 7: \(x^2 + 5x + 6\)
寻找两个数:和=5,积=6
这两个数:2 和 3(因为 \(2+3=5\) 以及 \(2 \cdot 3=6\))
\(= (x+2)(x+3)\)
例 8: \(x^2 - 7x + 12\)
和=-7,积=12
这两个数:-3 和 -4(因为 \(-3+(-4)=-7\) 以及 \((-3) \cdot (-4)=12\))
\(= (x-3)(x-4)\)
例 9: \(x^2 + 2x - 15\)
和=2,积=-15
这两个数:5 和 -3(因为 \(5+(-3)=2\) 以及 \(5 \cdot (-3)=-15\))
\(= (x+5)(x-3)\)
4️⃣ 带系数的三项式分解(a≠1)
对于 \(ax^2 + bx + c\) 使用"拆项"方法:
寻找两个数 m, n 使得:\(m + n = b\) 以及 \(m \cdot n = a \cdot c\)
例 10: \(2x^2 + 7x + 3\)
\(a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6\)
寻找:和=7,积=6 → 这两个数:1 和 6
拆项:\(2x^2 + x + 6x + 3\)
分组:\(x(2x + 1) + 3(2x + 1)\)
\(= (2x + 1)(x + 3)\)
例 11: \(3x^2 - 10x + 8\)
\(a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24\)
寻找:和=-10,积=24 → 这两个数:-4 和 -6
拆项:\(3x^2 - 4x - 6x + 8\)
分组:\(x(3x - 4) - 2(3x - 4)\)
\(= (3x - 4)(x - 2)\)
5️⃣ 分组分解法
例 12: \(x^3 + 2x^2 + 3x + 6\)
分组成对:
\(= (x^3 + 2x^2) + (3x + 6)\)
\(= x^2(x + 2) + 3(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x^2 + 3)\)
例 13: \(xy + 2x + 3y + 6\)
\(= x(y + 2) + 3(y + 2)\)
\(= (y + 2)(x + 3)\)
📋 因式分解的工作顺序
- 总是首先:提取公因式
- 两项时:是平方差吗?
- 三项时:是完全平方公式吗?或者普通三项式?
- 四项时:尝试分组
- 最后:通过去括号检验!
💡 考试技巧
总是首先:公因式!
平方差:a² - b²
检验:展开括号!
📝 方法总结
1. 公因式 | 2. 乘法公式 | 3. 三项式
4. 带系数的三项式 | 5. 分组