代数技巧
代数分式
📐 什么是代数分式?
代数分式是指分子和/或分母中含有变量(未知数)表达式的分式
例子:
\(\frac{x+1}{x-2}\) \(\frac{3x}{x^2-4}\) \(\frac{x^2+2x+1}{x+1}\)
⚠️ 定义域
不能除以零!
必须找出使分母等于零的值,并将它们排除出定义域
例 1: 求 \(\frac{x+1}{x-3}\) 的定义域
分母:\(x - 3 = 0\) → \(x = 3\)
定义域:\(x \neq 3\)
例 2: 求 \(\frac{2x}{x^2-4}\) 的定义域
分母:\(x^2 - 4 = 0\)
\((x-2)(x+2) = 0\)
\(x = 2\) 或 \(x = -2\)
定义域:\(x \neq 2, x \neq -2\)
✂️ 代数分式的化简
方法:
- 将分子和分母分别因式分解
- 约去相同的因式
例 3: 化简 \(\frac{x^2-9}{x+3}\)
分子因式分解(平方差):
\(\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}\)
约去 \((x+3)\):
\(= x - 3\)
(条件:\(x \neq -3\))
例 4: 化简 \(\frac{x^2+5x+6}{x^2-4}\)
因式分解:
分子:\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\)
分母:\(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)
\(\frac{(x+2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\)
\(= \frac{x+3}{x-2}\)
例 5: 化简 \(\frac{6x^2}{9x}\)
\(\frac{6x^2}{9x} = \frac{6 \cdot x \cdot x}{9 \cdot x} = \frac{6x}{9} = \frac{2x}{3}\)
\(= \frac{2x}{3}\)
✖️ 分式的乘除
乘法:分子×分子,分母×分母
\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)
除法:乘以倒数
\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)
例 6: \(\frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+3}\)
\(= \frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}\)
约去 \((x-2)\):
\(= \frac{x+1}{x+3}\)
例 7: \(\frac{x^2-1}{x} \div \frac{x+1}{x^2}\)
取倒数并相乘:
\(= \frac{x^2-1}{x} \cdot \frac{x^2}{x+1}\)
分解 \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\):
\(= \frac{(x-1)(x+1) \cdot x^2}{x \cdot (x+1)}\)
\(= x(x-1) = x^2 - x\)
➕ 分式的加减
规则:需要公分母!
\(\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}\)
例 8(分母相同): \(\frac{2x+1}{x-3} + \frac{x-4}{x-3}\)
分母相同,加分子:
\(= \frac{(2x+1) + (x-4)}{x-3}\)
\(= \frac{3x-3}{x-3} = \frac{3(x-1)}{x-3}\)
例 9(分母不同): \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}\)
公分母:\(x(x+1)\)
\(= \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)}\)
\(= \frac{2(x+1) + 3x}{x(x+1)}\)
\(= \frac{2x + 2 + 3x}{x(x+1)}\)
\(= \frac{5x + 2}{x(x+1)}\)
例 10: \(\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}\)
公分母:\((x-2)(x+2)\)
\(= \frac{x(x+2) - 2(x-2)}{(x-2)(x+2)}\)
\(= \frac{x^2 + 2x - 2x + 4}{(x-2)(x+2)}\)
\(= \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\)
📚 复分式
复分式=分子或分母中含有分式的分式
解法:分子和分母同时乘以内部分式的公分母
例 11: 化简 \(\frac{\frac{1}{x} + 1}{1 - \frac{1}{x}}\)
分子和分母同时乘以 x:
\(= \frac{(\frac{1}{x} + 1) \cdot x}{(1 - \frac{1}{x}) \cdot x}\)
\(= \frac{1 + x}{x - 1}\)
\(= \frac{x + 1}{x - 1}\)
💡 考试技巧
务必:先求定义域!
化简前:先因式分解
加减:公分母!
📝 总结
定义域:分母 ≠ 0 | 化简:因式分解
乘法:分子×分子 | 除法:倒数
加减:公分母!