代数技巧
双二次方程
📐 什么是双二次方程?
形如下式的方程:
\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)
其中 \(a \neq 0\)
💡 注意:
只有 \(x^4\) 和 \(x^2\)(没有 \(x^3\) 或 \(x\)!)
例子:
- \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
- \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
- \(2x^4 + 3x^2 - 2 = 0\)
🔄 换元法
思路:设 \(t = x^2\)
则 \(t^2 = x^4\)
方程变成关于 t 的二次方程!
📋 步骤:
- 设 \(t = x^2\)
- 解关于 t 的二次方程
- 回代到 x:如果 \(t = k\) 则 \(x^2 = k\)
- 开方:\(x = \pm\sqrt{k}\)
⚠️ 重要提醒:
- 如果 \(t > 0\):x 有两个解:\(x = \pm\sqrt{t}\)
- 如果 \(t = 0\):x 有一个解:\(x = 0\)
- 如果 \(t < 0\):没有实数解(负数无法开平方)
✏️ 示例 1
求解: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
第 1 步:设 \(t = x^2\)
\(t^2 - 5t + 4 = 0\)
第 2 步:解二次方程
寻找两个数:和 = 5,积 = 4
\((t - 1)(t - 4) = 0\)
\(t = 1\) 或 \(t = 4\)
第 3 步:回代到 x
如果 \(t = 1\):\(x^2 = 1\) → \(x = \pm 1\)
如果 \(t = 4\):\(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
答案:\(x = -2, -1, 1, 2\)
(4 个解!)
✏️ 示例 2
求解: \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)
换元: \(t = x^2\)
\(t^2 - 13t + 36 = 0\)
求解:
寻找:和 = 13,积 = 36
两个数:4 和 9
\((t - 4)(t - 9) = 0\)
\(t = 4\) 或 \(t = 9\)
回代到 x:
\(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
\(x^2 = 9\) → \(x = \pm 3\)
答案:\(x = -3, -2, 2, 3\)
✏️ 示例 3 - 使用公式
求解: \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\)
换元: \(t = x^2\)
\(t^2 - 3t - 4 = 0\)
求根公式:
\(a=1, b=-3, c=-4\)
\(\Delta = 9 + 16 = 25\)
\(t = \frac{3 \pm 5}{2}\)
\(t_1 = 4\),\(t_2 = -1\)
回代到 x:
\(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)
\(x^2 = -1\) → 无实数解
答案:\(x = -2, 2\)
(只有 2 个解)
✏️ 示例 4 - 特殊情况(c=0)
求解: \(x^4 - 9x^2 = 0\)
方法 1 - 提取公因式:
\(x^2(x^2 - 9) = 0\)
\(x^2 = 0\) 或 \(x^2 - 9 = 0\)
\(x = 0\) 或 \(x = \pm 3\)
答案:\(x = -3, 0, 3\)
(3 个解)
📊 有多少个解?
| t 的解 | x 的解的数量 |
|---|---|
| 两个正 t | 4 个解 |
| 一个正 t + t=0 | 3 个解 |
| 一个正 t + 一个负 t | 2 个解 |
| 只有 t=0(重根) | 1 个解 |
| 两个负 t | 0 个解 |
💡 考试技巧
设: \(t = x^2\)
记住: \(x = \pm\sqrt{t}\)
t 为负:无解!
📝 总结
\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)
设 \(t = x^2\) → 求解 → 回代
可能有 0、1、2、3 或 4 个解!