代数技巧 - 第七部分
因式分解 - 提公因式
📐 什么是因式分解?
因式分解 = 把一个多项式写成几个因式的乘积
这是去括号的逆运算!
💡 简单例子:
去括号:\(3(x + 2) = 3x + 6\)
因式分解:\(3x + 6 = 3(x + 2)\)
🔍 什么是公因式?
公因式是能整除表达式中所有项的数或变量。
例子:表达式 \(6x + 12\) 中
- 6 能被 6 整除
- 12 能被 6 整除
- 所以 6 是公因式!
📋 提公因式的方法
- 找出最大公因式(最大公约数)
能同时整除所有系数的最大数是多少?
- 检查是否有公共变量
如果 x 出现在所有项中 - 也要把它提出来
- 把公因式写在括号外面
- 每一项除以公因式
结果写在括号里面
✏️ 例题 - 数字公因式
例 1:分解 \(4x + 8\)
4 和 8 的最大公约数是 4
\(4x \div 4 = x\)
\(8 \div 4 = 2\)
\(4x + 8 = 4(x + 2)\)
例 2:分解 \(6x - 15\)
6 和 15 的最大公约数是 3
\(6x \div 3 = 2x\)
\(15 \div 3 = 5\)
\(6x - 15 = 3(2x - 5)\)
例 3:分解 \(12x + 18y - 6\)
12、18、6 的最大公约数是 6
\(12x \div 6 = 2x\),\(18y \div 6 = 3y\),\(6 \div 6 = 1\)
\(12x + 18y - 6 = 6(2x + 3y - 1)\)
✏️ 例题 - 含变量的公因式
例 4:分解 \(x^2 + 3x\)
两项都含有 x
\(x^2 \div x = x\)
\(3x \div x = 3\)
\(x^2 + 3x = x(x + 3)\)
例 5:分解 \(2x^2 - 4x\)
公因式:2x(2 和 x 都是公因式)
\(2x^2 \div 2x = x\)
\(4x \div 2x = 2\)
\(2x^2 - 4x = 2x(x - 2)\)
例 6:分解 \(6x^3 + 9x^2 - 3x\)
公因式:3x
\(6x^3 \div 3x = 2x^2\)
\(9x^2 \div 3x = 3x\)
\(3x \div 3x = 1\)
\(6x^3 + 9x^2 - 3x = 3x(2x^2 + 3x - 1)\)
✓ 检验答案
检验时 - 去括号,看看是否回到原表达式!
例 4 的检验:
我们说 \(x^2 + 3x = x(x + 3)\)
检验: \(x(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 = x^2 + 3x\) ✓
💡 考试提示
始终提取最大的公因式
检查数字和变量
验证方法是去括号
📝 总结
因式分解 = 去括号的逆运算
提取所有项的最大公因式
例如:\(6x + 9 = 3(2x + 3)\)