代数技巧 - 第八部分
二元一次方程组 - 代入法与消元法
📐 什么是方程组?
方程组是含有两个(或更多)未知数的两个(或更多)方程的集合。
方程组的例子:
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
方程组的解 = 同时满足两个方程的 x 和 y 的值!
🔄 代入消元法
💡 思路:
- 从其中一个方程中分离出一个未知数
- 把这个表达式代入第二个方程
- 求解只含一个未知数的方程
- 代回求出第二个未知数
✏️ 例 1: 解方程组
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
步骤 1:从第一个方程中分离出 y:
\(y = 5 - x\)
步骤 2:代入第二个方程:
\(2x - (5 - x) = 1\)
步骤 3:求解:
\(2x - 5 + x = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
步骤 4:代回:
\(y = 5 - 2 = 3\)
答:\(x = 2, y = 3\)
✏️ 例 2: 求解
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}\)
y 已经分离出来了!代入第二个方程:
\(3x + (2x + 1) = 11\)
\(5x + 1 = 11\)
\(5x = 10\)
\(x = 2\)
代入:\(y = 2(2) + 1 = 5\)
答:\(x = 2, y = 5\)
⚖️ 加减消元法
💡 思路:
- 通过乘法使其中一个未知数的系数相同
- 两个方程相加或相减以消去一个未知数
- 求解只含一个未知数的方程
- 代入求出第二个未知数
✏️ 例 3: 求解
\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}\)
步骤 1:x 的系数相同(都是 2)
步骤 2:两个方程相减:
\((2x + 3y) - (2x - y) = 12 - 4\)
\(2x + 3y - 2x + y = 8\)
\(4y = 8\)
\(y = 2\)
步骤 3:代入第二个方程:
\(2x - 2 = 4\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
答:\(x = 3, y = 2\)
✏️ 例 4: 求解(需要使系数相等)
\(\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases}\)
步骤 1:使 x 的系数相等(第一个方程乘以 2,第二个方程乘以 3):
\(6x + 4y = 22\)
\(6x + 15y = 48\)
步骤 2:相减:
\(-11y = -26\)
\(y = \frac{26}{11}\)
(或也可以使 y 的系数相等再求解)
🤔 何时使用每种方法?
| 代入法 | 加减消元法 |
|---|---|
| 当一个未知数已经被分离出来时 | 当系数已经相等或接近时 |
| 当容易分离未知数时(系数为 1) | 当难以分离未知数时 |
| 例子:\(y = 3x + 1\) | 例子:\(5x + 3y = 7\) |
✓ 检验答案
把解代入两个方程中检验!
例 1 的检验: \(x = 2, y = 3\)
方程 1:\(2 + 3 = 5\) ✓
方程 2:\(2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\) ✓
💡 考试提示
有分离出的未知数?用代入法!
系数相等?用加减消元!
始终在两个方程中检验!
📝 总结
代入法:分离一个未知数并代入
加减消元:使系数相等再相加/相减
检验:代入两个方程中!