由于从一个样本到另一个样本我们可能得到不同的样本均值,因此样本均值本身就是一个随机变量,并具有自己的分布。

核心问题:样本均值 \(\bar{X}\) 的分布是什么?

答案取决于两件事:

• 原总体是否服从正态分布?
• 样本大小 n 是多少?

描述分布或总体的量称为参数:

性质 1:样本均值的期望

\(E(\bar{X}) = \mu_{\bar{X}} = \mu\)

所有可能样本均值的平均值等于总体均值

性质 2:样本均值的方差

\(V(\bar{X}) = \sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}\)

所有样本均值的方差等于总体方差除以 n

(此性质仅对随机抽样成立)

性质 3:标准误差(Standard Error)

\(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

样本均值的标准差称为 "标准误差"

💡 重要洞察:样本大小与样本均值方差之间存在反比关系。

样本越大 → 方差越小 → 均值越集中在 μ 附近

结论:随着样本大小的增加,样本均值的分布变得:

• 更窄(方差更小)
• 更集中在总体均值 μ 附近

如果:我们从其变量服从正态分布、均值为 μ、方差为 σ² 的总体中抽样

那么:样本均值也服从正态分布!

\(\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)

💡 注意:在这种情况下,样本均值对任何样本大小 n 都服从正态分布,即使 n 很小!

定理:

如果总体服从任何分布(不必是正态!),均值为 μ,方差为 σ²,

那么对于足够大的样本,样本均值近似服从正态分布:

\(\bar{X} \xrightarrow{n \to \infty} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)

🎯 这是统计学中最重要的定理之一!

经验法则:通常 \(n \geq 30\) 就够了

但这取决于原分布:

• 对称分布:相对较小的 n(15-20)也可能足够
• 不对称分布:需要更大的 n(30+)
• 高度不对称分布:需要非常大的 n(50+)

\(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}\)

💡 注意区别:

• 对于单个观测 X:  \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)
• 对于样本均值 \(\bar{X}\):  \(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\)

题目:新生儿出生时的体重分布的均值为 μ = 3.2 千克,标准差为 σ = 0.5 千克。

抽取 36 个新生儿。样本均值大于 3.35 千克的概率是多少?