组合数学
第 1 页:基本计数原理
🎯 什么是组合数学?
组合数学是数学的一个分支,研究计数 - 完成某项任务、选择、排列或组织对象有多少种方法。
💡 典型问题:
- 5 个人排成一行有多少种方法?
- 可以创建多少个 4 位数?
- 从 10 名学生中选出 3 名有多少种方法?
- 可以创建多少个密码?
✖️ 乘法原理(乘积法则)
如果一项任务由连续步骤组成:
步骤 1 可以用 \(n_1\) 种方法完成,步骤 2 用 \(n_2\) 种方法,等等...
总方法数 = \(n_1 \times n_2 \times n_3 \times ...\)
✏️ 例子 1:选择一餐
餐馆有 3 种前菜、5 种主菜和 2 种甜点。
有多少种方法组成完整的一餐?
前菜:3 种选择
主菜:5 种选择
甜点:2 种选择
合计:3 × 5 × 2 = 30 种方法
✏️ 例子 2:密码
4 位数密码(0-9),允许重复。
有多少种可能的密码?
第一位:10 种选择(0-9)
第二位:10 种选择
第三位:10 种选择
第四位:10 种选择
合计:10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10,000 个密码
✏️ 例子 3:不允许重复的密码
4 位数密码(0-9),不允许重复。
第一位:10 种选择
第二位:9 种选择(已选一个)
第三位:8 种选择
第四位:7 种选择
合计:10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 个密码
➕ 加法原理(求和法则)
如果一项任务可以用不同且独立的方法完成(或这或那):
总方法数 = \(n_1 + n_2 + n_3 + ...\)
✏️ 例子 4:选举代表
班里有 12 名男生和 15 名女生。选 一名代表有多少种方法?
或男生(12 种选择)或女生(15 种选择)
合计:12 + 15 = 27 种方法
⚠️ 何时用乘法,何时用加法?
| 乘法(并且) | 加法(或者) |
|---|---|
| 连续步骤 | 独立选项 |
| 每个类别都选 | 只选一个类别 |
| "并且","然后" | "或者","其中之一" |
🔀 乘法与加法结合
✏️ 例子 5:偶数
从数字 1、2、3、4、5(不重复)可以创建多少个 3 位偶数?
偶数 → 个位必须是 2 或 4
情况 1:个位 = 2
百位:4 种选择(1、3、4、5)
十位:3 种选择
合计:4 × 3 = 12
情况 2:个位 = 4
百位:4 种选择(1、2、3、5)
十位:3 种选择
合计:4 × 3 = 12
合计:12 + 12 = 24 个数
✏️ 例子 6:混合委员会
有 4 名教师和 6 名学生。组成一个由 1 名教师和 1 名学生组成的委员会有多少种方法?
选教师 并且 学生(连续步骤)
合计:4 × 6 = 24 种方法
🌳 树形图
树形图是一种用于有序计数所有可能性的可视化工具。
✏️ 例子 7:投掷硬币两次
4 种可能的结果(也 2 × 2 = 4)
✏️ 例子 8:选择服装
T恤:红、蓝 | 裤子:黑、白、灰
6 种组合(也 2 × 3 = 6)
🔄 补集原理
有时候,计算不想要的然后相减更容易:
想要的 = 全部 - 不想要的
✏️ 例子 9:至少一位偶数的密码
3 位数密码(1-9)。有多少个密码至少含一位偶数?
全部:9 × 9 × 9 = 729 个密码
没有偶数(只有奇数 1、3、5、7、9):
5 × 5 × 5 = 125 个密码
至少一位偶数:729 - 125 = 604 个密码
💡 考试技巧
"并且": 乘法
"或者": 加法
"至少": 补集
不允许重复:数量减少
📝 第 1 页总结
乘法原理:连续步骤 → 乘法
加法原理:独立选项 → 加法
补集原理:全部 - 不想要的