指数函数
指数不等式
📐 什么是指数不等式?
指数不等式是未知数位于指数位置的不等式
例:
- \(2^x > 8\)
- \(3^{x-1} \leq 27\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^x < 4\)
⚠️ 最重要的规则!
a > 1
函数递增
不等式方向保持不变!
\(a^m > a^n \Rightarrow m > n\)
0 < a < 1
函数递减
不等式方向反转!
\(a^m > a^n \Rightarrow m < n\)
💡 如何记忆?
递增函数 → 方向相同
递减函数 → 方向相反(如同乘以负数!)
📝 类型 1:底数大于 1(a > 1)
✏️ 例 1:解 \(2^x > 8\)
解:
\(2^x > 2^3\)
底数 2 > 1 → 方向保持:
\(x > 3\)
✏️ 例 2:解 \(3^{2x-1} \leq 27\)
解:
\(3^{2x-1} \leq 3^3\)
底数 3 > 1 → 方向保持:
\(2x - 1 \leq 3\)
\(2x \leq 4\)
\(x \leq 2\)
✏️ 例 3:解 \(5^{x+2} > 5^{3x-4}\)
解:
底数 5 > 1 → 方向保持:
\(x + 2 > 3x - 4\)
\(6 > 2x\)
\(x < 3\)
📝 类型 2:底数小于 1(0 < a < 1)
⚠️ 方向反转!
✏️ 例 1:解 \(\left(\frac{1}{2}\right)^x < 4\)
解:
将 4 写成 ½ 的幂:
\(4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\)
底数 ½ < 1 → 方向反转:
\(x > -2\)
✏️ 例 2:解 \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq 9\)
解:
\(9 = 3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
底数 ⅓ < 1 → 方向反转:
\(x - 1 \leq -2\)
\(x \leq -1\)
✏️ 例 3:解 \(0.5^{2x} > 0.5^{x+3}\)
解:
底数 0.5 < 1 → 方向反转:
\(2x < x + 3\)
\(x < 3\)
📝 类型 3:代换(隐藏的二次不等式)
✏️ 例:解 \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \leq 0\)
解:
代换 \(t = 2^x\)(t > 0):
\(t^2 - 5t + 4 \leq 0\)
\((t-1)(t-4) \leq 0\)
解:\(1 \leq t \leq 4\)
回到 x:
\(2^0 \leq 2^x \leq 2^2\)
\(0 \leq x \leq 2\)
✏️ 例:解 \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 > 0\)
解:
代换 \(t = 3^x\)(t > 0):
\(t^2 - 10t + 9 > 0\)
\((t-1)(t-9) > 0\)
解:\(t < 1\) 或 \(t > 9\)
回到 x:
\(3^x < 3^0\) → \(x < 0\)
\(3^x > 3^2\) → \(x > 2\)
答案:\(x < 0\) 或 \(x > 2\)
📋 总结表
| 底数 | 不等式 | 结果 |
|---|---|---|
| a > 1 | \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) | \(f(x) > g(x)\) |
| \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) | \(f(x) < g(x)\) | |
| 0 < a < 1 | \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) | \(f(x) < g(x)\) ⚠️ |
| \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) | \(f(x) > g(x)\) ⚠️ |
💡 考试小技巧
1.始终检查底数!
2.a > 1 → 方向相同
3.0 < a < 1 → 方向反转!
4.代换:t > 0 始终如此!
📝 总结
a > 1(递增)→ 方向保持
0 < a < 1(递减)→ 方向反转!
代换:勿忘 t > 0