指数增长与衰减
介绍、公式与图象理解
🌱 什么是指数增长/衰减?
当一个量在每个时间单位内以固定百分比变化时,这种变化就是指数性的。
📈 指数增长
量以固定百分比增加
- 人口增长
- 复利
- 病毒传播
- 细菌繁殖
📉 指数衰减
量以固定百分比减少
- 放射性衰变
- 汽车贬值
- 药物代谢
- 热物体冷却
⭐ 核心公式
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
| \(f(t)\) | 经过 t 时间单位后的量 |
| \(f(0)\) | 初始量(t = 0 时) |
| \(q\) | 增长/衰减系数(底数) |
| \(t\) | 经过的时间单位数 |
🔑 增长/衰减系数 q
\(q = 1 \pm \frac{p}{100}\)
其中 p 是每个时间单位的增长/衰减百分比
增长(+)
\(q = 1 + \frac{p}{100}\)
q > 1
例:5% 增长 → q = 1.05
衰减(-)
\(q = 1 - \frac{p}{100}\)
0 < q < 1
例:10% 衰减 → q = 0.90
🔢 换算表:
| 变化百分比 | q(增长) | q(衰减) |
|---|---|---|
| 3% | 1.03 | 0.97 |
| 5% | 1.05 | 0.95 |
| 10% | 1.10 | 0.90 |
| 15% | 1.15 | 0.85 |
| 20% | 1.20 | 0.80 |
| 50% | 1.50 | 0.50 |
📊 图象理解
💡 图象的性质:
- 图象总是经过(0, f(0))点
- 图象始终为正(在 t 轴上方)
- t 轴是渐近线(图象趋近但不接触)
- q > 1:图象上升(增长)
- 0 < q < 1:图象下降(衰减)
✏️ 基础例题
例 1 - 人口增长:
某城市人口为 50,000 名居民,每年增长 3%。5 年后会有多少居民?
解:
- \(f(0) = 50000\)
- \(q = 1 + \frac{3}{100} = 1.03\)
- \(t = 5\)
\(f(5) = 50000 \cdot 1.03^5 = 50000 \cdot 1.159 \approx 57,964\)
答:约 57,964 名居民
例 2 - 汽车贬值:
一辆汽车以 120,000 元购买。其价值每年下降 15%。3 年后价值是多少?
解:
- \(f(0) = 120000\)
- \(q = 1 - \frac{15}{100} = 0.85\)
- \(t = 3\)
\(f(3) = 120000 \cdot 0.85^3 = 120000 \cdot 0.614 \approx 73,695\)
答:约 73,695 元
例 3 - 复利:
将 10,000 元存入银行,年利率为 4%。10 年后账户里会有多少?
解:
- \(f(0) = 10000\)
- \(q = 1.04\)
- \(t = 10\)
\(f(10) = 10000 \cdot 1.04^{10} = 10000 \cdot 1.480 \approx 14,802\)
答:约 14,802 元
📈 从图象读取信息
💡 可以从图象读出什么?
- f(0):t = 0 处的 y 值(与 y 轴的交点)
- q:两个连续值相除:\(q = \frac{f(1)}{f(0)}\)
- 过程类型:上升图 = 增长,下降图 = 衰减
✏️ 例:从图象读出 f(0) = 100,f(1) = 120。q 是多少?
\(q = \frac{f(1)}{f(0)} = \frac{120}{100} = 1.2\)
这是每个时间单位 20% 的增长
📝 总结
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
增长:q = 1 + p/100 > 1 | 衰减:q = 1 - p/100 < 1
图象始终为正且经过(0, f(0))