等比数列
介绍、通项公式与公比
🔢 什么是等比数列?
等比数列是这样一种数列:任意两个相邻项的比值是固定的
也就是说:每一项等于前一项乘以一个常数
💡 与等差数列的区别:
- 等差数列:差是固定的(加 d)
- 等比数列:比值是固定的(乘以 q)
等比数列的例子:
- 2, 6, 18, 54, 162, ...(乘以 3)
- 100, 50, 25, 12.5, ...(乘以 0.5)
- 3, -6, 12, -24, 48, ...(乘以 (-2))
- 1, 1, 1, 1, ...(乘以 1)
📊 公比 (q)
\(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
每一项与前一项的比值
💡 公比的计算:
\(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ...\)
✏️ 例:求数列 4, 12, 36, 108, ... 的公比
解:
\(q = \frac{12}{4} = 3\)
验证:\(\frac{36}{12} = 3\) ✓,\(\frac{108}{36} = 3\) ✓
公比:q = 3
🔍 公比的类型:
| q 的值 | 数列的特点 | 例子 |
|---|---|---|
| q > 1 | 递增(若 a₁ > 0) | 2, 4, 8, 16, ... |
| 0 < q < 1 | 递减并收敛于 0 | 8, 4, 2, 1, 0.5, ... |
| q = 1 | 常数列 | 5, 5, 5, 5, ... |
| q < 0 | 符号交替 | 2, -4, 8, -16, ... |
🔄 递推公式(递归定义)
\(\begin{cases} a_1 = a \\ a_{n+1} = a_n \cdot q \end{cases}\)
💡 含义:
- 给定首项 a₁
- 每一项等于前一项乘以 q
✏️ 例:在等比数列中 a₁ = 3,q = 2。求前 5 项。
解:
\(a_1 = 3\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 = 6\)
\(a_3 = 6 \cdot 2 = 12\)
\(a_4 = 12 \cdot 2 = 24\)
\(a_5 = 24 \cdot 2 = 48\)
数列:3, 6, 12, 24, 48
⭐ 通项公式
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
💡 公式的推导:
\(a_1 = a_1 \cdot q^0 = a_1\)
\(a_2 = a_1 \cdot q^1 = a_1 \cdot q\)
\(a_3 = a_1 \cdot q^2\)
\(a_4 = a_1 \cdot q^3\)
...
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
🔑 注意:幂指数是 (n-1) 而不是 n!
✏️ 例 1:在等比数列中 a₁ = 5,q = 3。第七项是多少?
解:
\(a_7 = 5 \cdot 3^{7-1} = 5 \cdot 3^6 = 5 \cdot 729 = 3645\)
✏️ 例 2:在等比数列中 a₁ = 64,q = 0.5。第五项是多少?
解:
\(a_5 = 64 \cdot 0.5^{5-1} = 64 \cdot 0.5^4 = 64 \cdot 0.0625 = 4\)
🔍 求项的位置 (n)
✏️ 例:在等比数列中 a₁ = 2,q = 3。162 是第几项?
解:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(162 = 2 \cdot 3^{n-1}\)
\(81 = 3^{n-1}\)
\(3^4 = 3^{n-1}\)
\(n - 1 = 4\)
\(n = 5\)(第五项)
✅ 等比数列的判定条件
三个数 a, b, c 是等比数列当且仅当:
\(b^2 = a \cdot c\)
💡 证明:
若 a, b, c 是公比为 q 的等比数列,则:
\(b = a \cdot q\) 且 \(c = b \cdot q = a \cdot q^2\)
因此:\(b^2 = (a \cdot q)^2 = a^2 \cdot q^2 = a \cdot (a \cdot q^2) = a \cdot c\)
✏️ 例:4, 6, 9 是等比数列吗?
解:
检验:\(b^2 = 6^2 = 36\)
\(a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36\)
\(36 = 36\) ✓
是!这是一个等比数列(q = 1.5)
🔗 项与项之间的关系
\(a_n = a_k \cdot q^{n-k}\)
通过任意已知的第 k 项求第 n 项
✏️ 例:在等比数列中 a₃ = 12,q = 2。a₇ 是多少?
解:
\(a_7 = a_3 \cdot q^{7-3} = 12 \cdot 2^4 = 12 \cdot 16 = 192\)
📝 总结
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
公比:\(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
等比数列条件:\(b^2 = a \cdot c\)