看下面这个乘积:

\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)

数字 2 自乘了 6 次。

我们用以下方式表示这个乘积:

\(2^6 = 64\)

读作: "2 的 6 次方" 或 "2 的 6 次幂"

💡 一般定义:

\(a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ 次}}\)

• 底数 (a): 自乘的数
• 指数 (n): 底数在乘积中作为因子出现的次数

规则 1:乘方先于加法、减法、乘法和除法

例子:

\(2 + 3^2 = 2 + 9 = 11\)(先乘方,然后加法)

\(5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40\)(先乘方,然后乘法)

规则 2:括号内的运算先于乘方

例子:

\((2 + 3)^2 = 5^2 = 25\)(先括号!)

注意: \(2 + 3^2 = 11\) 这不是同一回事!

规则 3:指数中的运算先于乘方

例子:

\(2^{1+2} = 2^3 = 8\)(先计算指数)

法则 1:同底数幂相乘

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

例子:

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

\(x^5 \cdot x^2 = x^7\)

法则 2:同底数幂相除

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

(当 a ≠ 0 且 m > n)

例子:

\(\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27\)

\(\frac{x^8}{x^3} = x^5\)

法则 3:幂的乘方

\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

例子:

\((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}\)

\((x^2)^5 = x^{10}\)

法则 4:积的乘方

\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)

例子:

\((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)

\((xy)^3 = x^3 y^3\)

法则 5:商的乘方

\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)

(当 b ≠ 0)

例子:

\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\)

\(\left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}\)

法则 6:负指数幂

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

(当 a ≠ 0)

例子:

\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)

\(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)