预备分析
变换:平移与反射
🎯 什么是变换?
变换是作用在函数上的操作,它改变图象的位置或形状。
如果我们了解 f(x) 的图象,就可以轻松地画出它的所有变换图象!
⬆️⬇️ 垂直平移(上 / 下)
\(g(x) = f(x) + k\)
k > 0
图象向上平移 k 个单位
k < 0
图象向下平移 |k| 个单位
💡 规则:对函数外部的操作 → 垂直平移(直接)
⬅️➡️ 水平平移(右 / 左)
\(g(x) = f(x - h)\)
⚠️ 注意 - 方向相反!
f(x − h), h > 0
图象向右平移 h 个单位
(减号 → 向右)
f(x + h), h > 0
图象向左平移 h 个单位
(加号 → 向左)
💡 小技巧:f(x−3) → 代入什么使其等于 0?x=3 → 顶点在 x=3
🪞 反射
关于 x 轴反射
\(g(x) = -f(x)\)
(x, y) → (x, −y)
关于 y 轴反射
\(g(x) = f(-x)\)
(x, y) → (−x, y)
📋 总结表
| 变换 | 公式 | 效果 |
|---|---|---|
| 向上平移 | \(f(x) + k\) | ↑ k 个单位 |
| 向下平移 | \(f(x) - k\) | ↓ k 个单位 |
| 向右平移 | \(f(x - h)\) | → h 个单位 |
| 向左平移 | \(f(x + h)\) | ← h 个单位 |
| x 轴反射 | \(-f(x)\) | 上下翻转 |
| y 轴反射 | \(f(-x)\) | 左右翻转 |
✏️ 综合例题
已知: \(f(x) = x^2\)
描述: \(g(x) = -(x-2)^2 + 3\)
一步一步求解:
- \(x^2\) - 开口向上的抛物线,顶点(0,0)
- \((x-2)^2\) - 向右平移 2 → 顶点(2,0)
- \(-(x-2)^2\) - 反射 → 开口向下的抛物线,顶点(2,0)
- \(-(x-2)^2 + 3\) - 向上平移 3 → 顶点 (2,3)
📝 总结
f(x) + k → 垂直(直接)| f(x − h) → 水平(相反!)
−f(x) → 关于 x 轴反射 | f(−x) → 关于 y 轴反射