预备分析
幂函数与多项式的定性分析
📊 幂函数 - \(f(x) = x^n\)
幂函数是所有多项式的基础。图象的形状取决于 n:
n 为偶数(2, 4, 6, ...)
- 偶函数(关于 Y 轴对称)
- 值域:\(y \geq 0\)
- 极小值点在(0, 0)
- 在 \((-\infty, 0)\) 上递减,在 \((0, \infty)\) 上递增
n 为奇数(1, 3, 5, ...)
- 奇函数(关于原点对称)
- 值域:全体实数
- 在整个定义域上递增
- 经过原点(0, 0)
⚖️ 对比:n 为偶数与 n 为奇数
| n 为偶数 | n 为奇数 | |
|---|---|---|
| 形状 | ∪(杯形) | ↗(递增) |
| 奇偶性 | 偶函数 | 奇函数 |
| 值域 | \([0, \infty)\) | \((-\infty, \infty)\) |
| 极值 | 在(0,0)处取极小值 | 无 |
| 端点行为 | \(x \to \pm\infty \Rightarrow y \to \infty\) | \(x \to -\infty \Rightarrow y \to -\infty\) \(x \to \infty \Rightarrow y \to \infty\) |
🧩 多项式作为一次因式之积
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n)\)
每个因式 \((x - x_i)\) 给出一个根(与 x 轴的交点),位于 \(x_i\)
💡 如何绘制?
- 找出根 - 与 x 轴的交点
- 确定方向 - 根据系数 a 和多项式的次数
- 在根之间绘制 - 图象在每个根处变号
✏️ 例: \(f(x) = (x+2)(x-1)(x-3)\)
根:x = -2, x = 1, x = 3
次数:3(奇数)→ 从下方开始,在上方结束
系数:a = 1 > 0
🔢 根的重数
当一个因式出现为某次幂时,会影响图象在该点的行为:
奇重数(1, 3, 5...)
图象穿过 x 轴
(变号)
偶重数(2, 4, 6...)
图象相切于 x 轴
(不变号)
✏️ 例: \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\)
- 在 x = -1 处:重数 2(偶数)→ 相切于 x 轴
- 在 x = 2 处:重数 1(奇数)→ 穿过 x 轴
🔭 端点行为
当 x 趋向无穷大时,多项式的行为取决于:
- 多项式的次数(偶数 / 奇数)
- 首项系数的符号(正 / 负)
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| 偶数次 | ↗ ∞ ↖ (两端朝上) |
↘ -∞ ↙ (两端朝下) |
| 奇数次 | ↙ -∞ ... ∞ ↗ (左下,右上) |
↖ ∞ ... -∞ ↘ (左上,右下) |
📝 多项式定性分析步骤
- 找出根(与 x 轴的交点)
- 检查每个根的重数(穿过或相切)
- 确定端点行为(根据次数和系数)
- 求与 y 轴的交点(代入 x=0)
- 绘制图象
📝 总结
xⁿ:n 为偶数 → 杯形 | n 为奇数 → 递增
偶重数 → 相切 | 奇重数 → 穿过
端点:次数 + 系数符号 = 方向