预备分析
绝对值函数
📏 什么是绝对值?
一个数的绝对值是它在数轴上到零的距离。
距离始终是非负的!
\(|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}\)
例子:
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- \(|0| = 0\)
- \(|-3.7| = 3.7\)
📊 函数 \(f(x) = |x|\) 的图象
图象的性质:
- 形状:V 形(像英文字母 V)
- 顶点:在(0, 0)点
- 偶函数:关于 Y 轴对称
- 定义域:全体实数
- 值域:\(y \geq 0\)
- 极小值:y = 0 在 x = 0 处
🔄 |x| 的变换
\(f(x) = a|x - h| + k\)
顶点在(h, k)
h → 水平平移
|x - 2| → 顶点在 x = 2
k → 垂直平移
|x| + 3 → 顶点在 y = 3
a → 斜率与反射
a < 0 → 倒 V 形(∧)
🔓 如何打开绝对值?
绝对值内的表达式可以是正或负
因此需要分情况!
✏️ 例:打开 \(f(x) = |x - 3|\)
步骤 1:找出临界点
\(x - 3 = 0\) → \(x = 3\)
步骤 2:分情况
\(f(x) = \begin{cases} x - 3 & \text{if } x \geq 3 \\ -(x - 3) = -x + 3 & \text{if } x < 3 \end{cases}\)
✏️ 较复杂的例: \(f(x) = |x - 1| + |x + 2|\)
临界点:x = 1 和 x = -2
三个区间:
- x < -2: \(-(x-1) + (-(x+2)) = -2x - 1\)
- -2 ≤ x < 1: \(-(x-1) + (x+2) = 3\)
- x ≥ 1: \((x-1) + (x+2) = 2x + 1\)
⚖️ 含绝对值的方程
类型 1: \(|A| = k\)(当 k > 0 时)
解:\(A = k\) 或 \(A = -k\)
例: \(|x - 2| = 5\)
\(x - 2 = 5\) → \(x = 7\)
\(x - 2 = -5\) → \(x = -3\)
类型 2: \(|A| = |B|\)
解:\(A = B\) 或 \(A = -B\)
例: \(|x - 1| = |2x + 3|\)
\(x - 1 = 2x + 3\) → \(x = -4\)
\(x - 1 = -(2x + 3)\) → \(x = -\frac{2}{3}\)
⚠️ 注意:
- \(|A| = k\) 当 k < 0 → 无解!
- \(|A| = 0\) → \(A = 0\)(唯一解)
📐 含绝对值的不等式
\(|A| < k\)
等价于:\(-k < A < k\)
"靠近零"
例: \(|x - 2| < 3\)
\(-3 < x - 2 < 3\)
\(-1 < x < 5\)
\(|A| > k\)
等价于:\(A < -k\) 或 \(A > k\)
"远离零"
例: \(|x - 2| > 3\)
\(x - 2 < -3\) 或 \(x - 2 > 3\)
\(x < -1\) 或 \(x > 5\)
🎨 \(y = |f(x)|\) 的图象
图象中所有负的部分反射到上方
💡 规则:x 轴下方的部分"折叠"到上方
📝 总结
|x| = 到零的距离,总是 ≥ 0
V 形图,顶点在(h, k),根据 a|x-h|+k
|A| < k → 封闭区间 | |A| > k → 两个区间