📊 函数图像与导数图像之间的关系
如何从 \(f\) 与 \(f'\) 之间互相读取信息,以及 \(f''\)
🎯 为什么这很重要?
考试中常有给出导数图像而要求关于原函数的信息的题目,反之亦然。
为了解答这类题目,需要理解三个函数之间的关系:
|
\(f(x)\) 函数 |
\(f'(x)\) 一阶导数 |
\(f''(x)\) 二阶导数 |
⭐ 核心关系表
| \(f'\) 的信息 | → | 关于 \(f\) 的结论 |
|---|---|---|
| \(f'(x) > 0\) | → | \(f\) 递增 📈 |
| \(f'(x) < 0\) | → | \(f\) 递减 📉 |
| \(f'(x) = 0\) | → | \(f\) 的极值候选点 |
| \(f'\) 由 + 变为 − | → | \(f\) 有极大值 🏔️ |
| \(f'\) 由 − 变为 + | → | \(f\) 有极小值 🏜️ |
💡 记忆技巧:
\(f'\) 图像在 \(x\) 轴上方 = \(f\) 递增
\(f'\) 图像在 \(x\) 轴下方 = \(f\) 递减
\(f'\) 图像穿过 \(x\) 轴 = \(f\) 有极值
🔄 与二阶导数 \(f''\) 的关系
| \(f''\) 的信息 | → | 关于 \(f\) 的结论 | 关于 \(f'\) 的结论 |
|---|---|---|---|
| \(f''(x) > 0\) | → | \(f\) 上凹 ∪ | \(f'\) 递增 |
| \(f''(x) < 0\) | → | \(f\) 下凹 ∩ | \(f'\) 递减 |
| \(f''(x) = 0\) + 符号改变 | → | \(f\) 有拐点 | \(f'\) 有极值 |
💡 重要洞察:
\(f''\) 是 \(f'\) 的导数,因此:
- \(f'' > 0\) 表示 \(f'\) 递增(正如 \(f' > 0\) 表示 \(f\) 递增)
- \(f'' = 0\) 加上符号改变 = \(f'\) 的极值 = \(f\) 的拐点
🔗 完整关系链
| \(f''(x)\) | \(f'(x)\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|
| 为正(\(>0\)) | 递增 | 上凹 ∪ |
| 为负(\(<0\)) | 递减 | 下凹 ∩ |
| 为零 + 符号改变 | 极值 | 拐点 |
| - | 为正(\(>0\)) | 递增 📈 |
| - | 为负(\(<0\)) | 递减 📉 |
| - | 为零 + 符号改变 | 极值 🏔️🏜️ |
📖 从 \(f'\) 图像读取关于 \(f\) 的信息
给定 \(f'(x)\) 的图像。可以推出关于 \(f(x)\) 的什么?
| 在 \(f'\) 图像中所见 | 关于 \(f\) 的推论 |
|---|---|
| 图像在 \(x\) 轴上方 | \(f\) 在该区间递增 |
| 图像在 \(x\) 轴下方 | \(f\) 在该区间递减 |
| 图像由上向下穿过 \(x\) 轴 | \(f\) 在该点有极大值 |
| 图像由下向上穿过 \(x\) 轴 | \(f\) 在该点有极小值 |
| 图像触及 \(x\) 轴(不穿过) | \(f\) 有水平拐点 |
| \(f'\) 图像递增 | \(f\) 上凹 ∪ |
| \(f'\) 图像递减 | \(f\) 下凹 ∩ |
| \(f'\) 有极值 | \(f\) 有拐点 |
📖 从 \(f\) 图像读取关于 \(f'\) 的信息
给定 \(f(x)\) 的图像。可以推出关于 \(f'(x)\) 的什么?
| 在 \(f\) 图像中所见 | 关于 \(f'\) 的推论 |
|---|---|
| \(f\) 递增 | \(f' > 0\)(图像在 \(x\) 轴上方) |
| \(f\) 递减 | \(f' < 0\)(图像在 \(x\) 轴下方) |
| \(f\) 有极大值 | 在该点 \(f' = 0\),且 \(f'\) 由上向下穿过 |
| \(f\) 有极小值 | 在该点 \(f' = 0\),且 \(f'\) 由下向上穿过 |
| \(f\) 上凹 ∪ | \(f'\) 递增 |
| \(f\) 下凹 ∩ | \(f'\) 递减 |
| \(f\) 有拐点 | \(f'\) 有极值 |
🎯 用 \(f''\) 判别极值类型
若 \(f'(x_0) = 0\)(极值候选点),则检查 \(f''(x_0)\):
|
\(f''(x_0) < 0\) ∩ 极大值 |
\(f''(x_0) > 0\) ∪ 极小值 |
\(f''(x_0) = 0\) ❓ 无法判定 需用符号表检查 |
💡 记忆技巧:
\(f'' < 0\) → "伤心" ∩ → 朝上 → 极大值
\(f'' > 0\) → "微笑" ∪ → 朝下 → 极小值
✏️ 例题:分析 \(f'\) 的图像
已知:\(f'(x)\) 的图像穿过 \(x\) 轴于点 \(x = -2\) 与 \(x = 3\)。
图像位于 \(x\) 轴上方 在区间 \((-2, 3)\) 内,在该区间外位于其下方。
\(f'\) 的图像在 \(x = 0\) 处取得极大值。
关于 \(f\) 可以推出什么?
单调性区间:
• \(f' > 0\) 在区间 \((-2, 3)\) → \(f\) 在 \((-2, 3)\) 上递增
• \(f' < 0\) 在 \(x < -2\) 与 \(x > 3\) → \(f\) 在这些区间递减
极值点:
• 在 \(x = -2\):\(f'\) 由 − 变为 + → \(f\) 的极小值
• 在 \(x = 3\):\(f'\) 由 + 变为 − → \(f\) 的极大值
拐点与凹凸性:
• 在 \(x = 0\) 处 \(f'\) 取极大值 → \(f\) 有拐点
• \(f'\) 在 \((-2, 0)\) 递增 → \(f\) 上凹 ∪
• \(f'\) 在 \((0, 3)\) 递减 → \(f\) 下凹 ∩
💡 考试重要提示
1️⃣ 识别给的是哪个
先确认:给的是 \(f\) 的图像还是 \(f'\) 的图像?
这决定一切!
2️⃣ 符号 ≠ 单调性
\(f'\) 的符号 = \(f\) 的单调性
\(f'\) 的单调性 = \(f\) 的凹凸性
3️⃣ \(f'\) 的零点
\(x\) 轴交点 = \(f\) 的极值
(若有符号改变)
4️⃣ \(f'\) 的极值
\(f'\) 的极值 = \(f\) 的拐点
(因为该处 \(f'' = 0\))
📝 总结
| \(f' > 0\) | → | \(f\) 递增 | \(f'' > 0\) | → | \(f\) 上凹,\(f'\) 递增 |
| \(f' < 0\) | → | \(f\) 递减 | \(f'' < 0\) | → | \(f\) 下凹,\(f'\) 递减 |
| \(f' = 0\) | → | \(f\) 的极值 | \(f'' = 0\) | → | \(f\) 的拐点,\(f'\) 的极值 |