解析几何 - 直线
由两点求直线方程
🎯 方法 - 两个步骤
要求出经过两点的直线方程,需要两个步骤:
步骤 1:求斜率
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
步骤 2:求 b
将 m 和其中一点代入方程:
\(y = mx + b\)
然后解出 b
✏️ 例 1
问题:求经过点 \(A(1, 2)\) 与 \(B(3, 8)\) 的直线方程
步骤 1 - 求斜率:
\(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)
步骤 2 - 求 b:
代入 \(m = 3\) 与点 \(A(1, 2)\):
\(2 = 3 \cdot 1 + b\)
\(2 = 3 + b\)
\(b = 2 - 3 = -1\)
\(y = 3x - 1\)
💡 验证:检查点 B(3, 8) 是否确实在直线上:
\(y = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) ✓
✏️ 例 2
问题:求经过 \(A(2, 5)\) 与 \(B(4, 1)\) 的直线方程
步骤 1 - 求斜率:
\(m = \frac{1 - 5}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2\)
步骤 2 - 求 b:
代入 \(m = -2\) 与点 \(A(2, 5)\):
\(5 = -2 \cdot 2 + b\)
\(5 = -4 + b\)
\(b = 9\)
\(y = -2x + 9\)
✏️ 例 3 - 含分数
问题:求经过 \(A(1, 2)\) 与 \(B(4, 3)\) 的直线方程
步骤 1 - 求斜率:
\(m = \frac{3 - 2}{4 - 1} = \frac{1}{3}\)
步骤 2 - 求 b:
代入 \(m = \frac{1}{3}\) 与点 \(A(1, 2)\):
\(2 = \frac{1}{3} \cdot 1 + b\)
\(2 = \frac{1}{3} + b\)
\(b = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\)
\(y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)
✏️ 例 4 - 含负数
问题:求经过 \(A(-2, 4)\) 与 \(B(1, -2)\) 的直线方程
步骤 1 - 求斜率:
\(m = \frac{-2 - 4}{1 - (-2)} = \frac{-6}{1 + 2} = \frac{-6}{3} = -2\)
步骤 2 - 求 b:
代入 \(m = -2\) 与点 \(B(1, -2)\):
\(-2 = -2 \cdot 1 + b\)
\(-2 = -2 + b\)
\(b = 0\)
\(y = -2x\)
(直线经过原点!)
⚠️ 特殊情况
情况 1:水平直线(y 值相同)
例子:点 \(A(2, 5)\) 与 \(B(7, 5)\)
\(m = \frac{5-5}{7-2} = \frac{0}{5} = 0\)
直线方程:y = 5(水平直线)
情况 2:垂直直线(x 值相同)
例子:点 \(A(3, 1)\) 与 \(B(3, 8)\)
斜率未定义!(除以 0)
直线方程:x = 3(垂直直线)
注意:此方程不是 y = mx + b 形式!
💡 替代方法 - 两点式
经过 \((x_1, y_1)\) 与 \((x_2, y_2)\) 的直线方程:
\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
✏️ 例子:点 \(A(1, 2)\) 与 \(B(3, 8)\)
\(\frac{y - 2}{x - 1} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y - 2 = 3(x - 1)\)
\(y - 2 = 3x - 3\)
\(y = 3x - 1\)
📝 方法总结
步骤 1:\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
步骤 2:代入 \(y = mx + b\) 并解出 b
别忘了用第二个点进行验证!