解析几何 - 直线
由点和斜率求直线方程
🎯 方法
当给定斜率与直线上的一点时,我们已经知道 m 了!
只需要求出 b。
已知:斜率 m 与点 \((x_0, y_0)\)
代入方程:
\(y_0 = m \cdot x_0 + b\)
然后求出 b
⭐ 点斜式公式(Point-Slope Form)
经过 \((x_0, y_0)\) 且斜率为 m 的直线方程:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
💡 优势:不需要单独求 b - 直接代入并化简!
✏️ 例 1
问题:求斜率 \(m = 2\) 且经过 \((3, 7)\) 的直线方程
解:代入 m = 2 与点 (3, 7):
\(7 = 2 \cdot 3 + b\)
\(7 = 6 + b\)
\(b = 1\)
\(y = 2x + 1\)
✏️ 例 2 - 点斜式法
问题:求斜率 \(m = -3\) 且经过 \((2, 4)\) 的直线方程
解:
\(y - 4 = -3(x - 2)\)
\(y - 4 = -3x + 6\)
\(y = -3x + 10\)
\(y = -3x + 10\)
✏️ 例 3 - 分数斜率
问题:求斜率 \(m = \frac{1}{2}\) 且经过 \((4, 1)\) 的直线方程
\(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 4)\)
\(y - 1 = \frac{1}{2}x - 2\)
\(y = \frac{1}{2}x - 1\)
\(y = \frac{1}{2}x - 1\)
✏️ 例 4 - 负坐标点
问题:求斜率 \(m = 4\) 且经过 \((-1, 2)\) 的直线方程
\(y - 2 = 4(x - (-1))\)
\(y - 2 = 4(x + 1)\)
\(y - 2 = 4x + 4\)
\(y = 4x + 6\)
\(y = 4x + 6\)
💡 特殊情况:经过原点的直线
问题:求斜率 \(m = 5\) 且经过 \((0, 0)\) 的直线方程
点 (0, 0) 就是原点,因此 b = 0!
\(y = 5x\)
💡 规律:经过原点的直线方程总是 \(y = mx\) 的形式
📝 总结
点斜式公式:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
或:将 m 和点代入 \(y = mx + b\) 求出 b