解析几何 - 直线
两点间的距离
⭐ 距离公式
\(A(x_1, y_1)\) 与 \(B(x_2, y_2)\) 之间的距离:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
💡 这公式从何而来?勾股定理!
两点间的距离就是直角三角形的斜边。
📐 证明 - 勾股定理
✏️ 例子
例 1:求 \(A(1, 2)\) 与 \(B(4, 6)\) 之间的距离
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
例 2:求 \(A(-2, 3)\) 与 \(B(1, 7)\) 之间的距离
\(d = \sqrt{(1-(-2))^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
例 3:求 \(A(0, 0)\) 与 \(B(3, 4)\) 之间的距离
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
(这是著名的 3-4-5 勾股数!)
例 4:求 \(A(2, 1)\) 与 \(B(5, 3)\) 之间的距离
\(d = \sqrt{(5-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
💡 常见勾股数
值得记住:
- 3, 4, 5 → \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
- 5, 12, 13 → \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)
- 8, 15, 17 → \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\)
- 6, 8, 10 → (3-4-5 的倍数)
📍 点到原点的距离
\((x, y)\) 到原点 \((0, 0)\) 的距离:
\(d = \sqrt{x^2 + y^2}\)
✏️ 例子:(6, 8) 到原点的距离:
\(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
📝 总结
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
公式基于勾股定理