解析几何 - 直线
线段中点 - 公式及由中点求端点
⭐ 线段中点公式
端点为 \(A(x_1, y_1)\) 与 \(B(x_2, y_2)\) 的线段中点:
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
💡 通俗地说:中点 = 坐标的平均值!
- 中点的 x = x 值的平均
- 中点的 y = y 值的平均
📐 图形演示
✏️ 例子 - 求线段中点
例 1:求线段 AB 的中点,其中 \(A(2, 4)\) 与 \(B(6, 8)\)
\(M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)\)
例 2:求线段 AB 的中点,其中 \(A(-2, 3)\) 与 \(B(4, 7)\)
\(M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{10}{2}\right) = (1, 5)\)
例 3:求线段 AB 的中点,其中 \(A(1, 5)\) 与 \(B(4, 2)\)
\(M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = (2.5, 3.5)\)
🔄 反向公式 - 求线段端点
问题:已知一个端点 A 与中点 M,求另一个端点 B。
若 \(A(x_1, y_1)\) 与中点 \(M(x_m, y_m)\),则:
\(B = (2x_m - x_1, 2y_m - y_1)\)
💡 推导:从原始公式出发:
\(x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}\) → \(2x_m = x_1 + x_2\) → \(x_2 = 2x_m - x_1\)
✏️ 例子 - 求线段端点
例 1:已知端点 \(A(2, 3)\) 与中点 \(M(5, 7)\)。求 B。
\(x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8\)
\(y_B = 2 \cdot 7 - 3 = 14 - 3 = 11\)
B = (8, 11)
例 2:已知端点 \(A(4, 1)\) 与中点 \(M(2, 4)\)。求 B。
\(x_B = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0\)
\(y_B = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7\)
B = (0, 7)
例 3:已知端点 \(A(-1, 6)\) 与中点 \(M(3, 2)\)。求 B。
\(x_B = 2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7\)
\(y_B = 2 \cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2\)
B = (7, -2)
💡 验证:总是可以验证 - 计算 AB 的中点,确认得到 M!
💡 替代方法 - 建立方程
例子:已知 A(2, 3) 与中点 M(5, 7)。求 B(x, y)。
步骤 1:从中点公式写出方程:
\(\frac{2 + x}{2} = 5\) → \(2 + x = 10\) → \(x = 8\)
\(\frac{3 + y}{2} = 7\) → \(3 + y = 14\) → \(y = 11\)
答案:B = (8, 11)
📝 总结
线段中点:
\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
求端点:
\(B = (2x_m - x_1, 2y_m - y_1)\)