解析几何 - 直线
平行线与垂直线
∥ 平行线
两条直线平行当且仅当:
\(m_1 = m_2\)
斜率相等!
✏️ 平行线例子:
- \(y = 3x + 2\) 与 \(y = 3x - 5\)(都是 m = 3)
- \(y = -2x + 1\) 与 \(y = -2x + 7\)(都是 m = -2)
- \(y = \frac{1}{2}x\) 与 \(y = \frac{1}{2}x + 3\)(都是 m = ½)
💡 注意:平行线之间只在 b 值(截距)上不同!
⊥ 垂直线(互相垂直)
两条直线互相垂直当且仅当:
\(m_1 \cdot m_2 = -1\)
斜率的乘积等于 -1!
💡 实用公式:若一条直线的斜率为 m,则与之垂直的直线斜率为:
\(m_{\perp} = -\frac{1}{m}\)
✏️ 垂直线例子:
- \(m_1 = 2\) → \(m_2 = -\frac{1}{2}\)(因为 \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\))
- \(m_1 = 3\) → \(m_2 = -\frac{1}{3}\)
- \(m_1 = -4\) → \(m_2 = \frac{1}{4}\)
- \(m_1 = \frac{2}{3}\) → \(m_2 = -\frac{3}{2}\)
- \(m_1 = 1\) → \(m_2 = -1\)
📋 总结表
| 直线之间的关系 | 条件 | 例子 |
|---|---|---|
| 平行 ∥ | \(m_1 = m_2\) | y = 2x + 1 ∥ y = 2x + 5 |
| 垂直 ⊥ | \(m_1 \cdot m_2 = -1\) | y = 2x + 1 ⊥ y = -½x + 3 |
| 相交 | \(m_1 \neq m_2\) | y = 2x + 1 与 y = 3x - 2 |
✏️ 例子
例 1:求经过 (1, 5) 且平行于 \(y = 3x + 2\) 的直线方程
平行直线的斜率:m = 3(相同!)
5 = 3·1 + b → b = 2
答案:y = 3x + 2
例 2:求经过 (4, 3) 且垂直于 \(y = 2x - 1\) 的直线方程
已知直线的斜率:m₁ = 2
垂直直线的斜率:m₂ = -½
3 = (-½)·4 + b → 3 = -2 + b → b = 5
答案:y = -½x + 5
例 3:直线 \(y = 4x + 1\) 与 \(y = -\frac{1}{4}x + 3\) 是否垂直?
m₁ = 4, m₂ = -¼
m₁ · m₂ = 4 · (-¼) = -1 ✓
是的,这两条直线互相垂直!
⚠️ 特殊情形
水平直线与垂直直线:
- 水平直线:m = 0(例如 y = 3)
- 垂直直线:斜率未定义(例如 x = 2)
- 它们之间始终互相垂直!
两条水平直线:y = 3 与 y = 7 是平行的(都是 m = 0)
两条垂直直线:x = 2 与 x = 5 是平行的
📝 总结
平行: \(m_1 = m_2\)
垂直: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
垂直斜率:\(m_{\perp} = -\frac{1}{m}\)