解析几何 - 圆
圆的方程 - 圆心与半径
🎯 什么是圆?
定义:圆是平面上到一个固定点(圆心)距离相等(半径)的所有点的集合。
⭐ 圆的方程 - 标准形式
圆心为 \(M(a, b)\) 半径为 \(r\) 的圆:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
💡 如何记忆?
公式说明:圆上任意一点 (x, y) 到圆心 (a, b) 的距离等于 r。
这其实就是距离公式的平方!
🔍 从方程识别圆心与半径
✏️ 例 1: \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\)
圆心:(3, 2)
半径: \(r = \sqrt{25} = 5\)
✏️ 例 2: \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 16\)
圆心:(-4, 1)
💡 注意:(x + 4) = (x - (-4)),所以 a = -4
半径: \(r = \sqrt{16} = 4\)
✏️ 例 3: \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 9\)
圆心:(-2, -5)
半径: \(r = \sqrt{9} = 3\)
✏️ 例 4: \(x^2 + (y - 7)^2 = 49\)
圆心:(0, 7)
💡 如果 x 旁边没有括号,则 a = 0
半径: \(r = \sqrt{49} = 7\)
⭕ 特殊情况:圆心在坐标原点
当圆心为 (0, 0) 时:
\(x^2 + y^2 = r^2\)
✏️ 例: \(x^2 + y^2 = 36\)
圆心:(0, 0)
半径: \(r = \sqrt{36} = 6\)
📐 一般方程(展开形式)
有时圆的方程会以展开形式出现:
\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
🔄 如何转换为标准形式?
使用配方法!
💡 提示 - 配方法:
\(x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{D}{2}\right)^2\)
✏️ 详细例子 - 转换为标准形式
问题:求圆的圆心与半径: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)
步骤 1:把含 x 的项与含 y 的项分别组合:
\((x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12\)
步骤 2:对 x 配方:
\(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\)
(6 的一半是 3,3² = 9)
步骤 3:对 y 配方:
\(y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4\)
(4 的一半是 2,2² = 4)
步骤 4:代回:
\((x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 12\)
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25\)
答案:
圆心:(3, -2)
半径: \(r = \sqrt{25} = 5\)
⚡ 简便公式(快速使用)
对于方程 \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\):
圆心: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\)
半径: \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\)
✏️ 用上一个例子验证:
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)
D = -6, E = 4, F = -12
圆心: \(\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (3, -2)\) ✓
半径: \(r = \sqrt{9 + 4 - (-12)} = \sqrt{25} = 5\) ✓
✍️ 写圆的方程
例 1:写出圆心为 (2, -3) 半径为 4 的圆的方程
\((x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2\)
答案: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\)
例 2:写出圆心为 (-1, 5) 半径为 3 的圆的方程
答案: \((x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9\)
例 3:写出圆心在原点 半径为 7 的圆的方程
答案: \(x^2 + y^2 = 49\)
📊 从图形识别圆心与半径
💡 如何从图形识别?
- 找出圆心的坐标(中心点)
- 测量从圆心到圆边的距离(半径)
- 写出方程
📝 总结
标准形式: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
圆心: (a, b) | 半径: r
圆心在原点: \(x^2 + y^2 = r^2\)
一般式 → 配方法 → 标准式